数

実数

　小数
　　小数点

　　　固定小数点［方式］
　　　　整数部.小数部
　　　浮動小数点［方式］
　　　　仮数部×指数部
　　　　例えば、2.55E-1　・・・　2.55×10^-1

　　有限小数
　　無限小数

　　循環小数

　有理数
　　n／m (m≠0)

　　整数

　　　奇数
　　　　2n±1
　　　偶数
　　　　2n

　　　奇数＋偶数＝奇数
　　　　・・・　(2n±1) ＋ 2n ＝ 2(2n)±1

　　　自然数
　　　　正の整数

　　　　素数　　　↓
　　　0　零
　　　負数
　　分数
　無理数　・・・　非循環無限小数
　　分数の形で表せない

　　累乗根　　　↓
　　円周率　π　　　↓
　　ネイピア数　e　　　↓
　　黄金比　　　↓

複素数　x±iy
　実数　　　↑
　虚数　i
　　i² ＝ -1

　共役複素数
　　x ∓ iy

無限大　∞

絶対値　|　|
　|a|
　　a≧0のときa
　　a＜0のとき−a

　|a|≦n
　　−n≦a≦n　・・・　a≧0のときa≦n、a＜0のとき−a≦n
　|a|＞n
　　a＜−n、n＜a　・・・　a≧0のときa＞n、a＜0のとき−a＞n

ガウス記号　[　]
　[a]　・・・　aを超えない最大の整数

記数法
　2進数、8進数、16進数　　　→
　10進数
　　0〜9
　12進数
　　0〜9、A、B

スカラー　Scalar
　大きさ
ベクトル　Vector　A、\( \vec{OA} \)
　向き
　大きさ　|A|　＝　長さ（ノルム）　||A||
　　A ＝ (A_x,A_y,A_z)のとき、
　　　||A|| ＝ √(A・A) ＝ √(A_x² ＋ A_y² ＋ … ＋ A_z²)

　実ベクトル
　複素ベクトル

　単位ベクトル
　　i、j、k

　線型独立　・・・　お互い平行でない、同一平面上でない
　　→　線型結合　A ＝ A_xi ＋ A_yj ＋ A_zk

　B−A
　　\( \vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}=\vec{OB}-\vec{OA} \)

　内積（スカラー積）
　　A・B ＝ |A||B| cosθ

　　　A ＝ (A_x,A_y,A_z)、B ＝ (B_x,B_y,B_z)のとき、
　　　　A・B ＝ A_xB_x ＋ A_yB_y ＋ A_zB_z

　　i・i ＝ 1　・・・　|i| ＝ 1、cos 0 ＝ 1
　　i・j ＝ 0　・・・　|i| ＝ |j| ＝ 1、cos π／2 ＝ 0

　外積（ベクトル積）
　　A×B　・・・　≠　B×A

　　　大きさ　||A×B||
　　　　＝ |A||B| sinθ　・・・　＝　平行四辺形の面積

　　　A ＝ (A_x,A_y,A_z) ＝ A_xi ＋ A_yj ＋ A_zk、B ＝ (B_x,B_y,B_z) ＝ B_xi ＋ B_yj ＋ B_zkのとき、
　　　　A×B ＝ (A_yB_z−A_zB_y , A_zB_x−A_xB_z , A_xB_y−A_yB_x) ＝ (A_yB_z−A_zB_y)i ＋ (A_zB_x−A_xB_z)j ＋ (A_xB_y−A_yB_x)k
　　　　　・・・　行列式　　　↓
　　　　　 \( = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ A_{x}&A_{y}&A_{z}\\ B_{x}&B_{y}&B_{z} \end{array} \right| \)

　　　向き　・・・　右ねじ（進行方向＝A×B）
　　　　　A×B
　　　　　｜＿　
　　　　　/　　B
　　　　A

　　(A×B)・A ＝ (A×B)・B ＝ 0　・・・　A×BとA、Bは垂直、cos π／2 ＝ 0

逆数

四則演算
　加減　±　∓
　　加　和　＋
　　減　差　−

　　交換法則
　　　a＋b＝b＋a
　　結合法則
　　　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
　乗　積　×　＊

　　交換法則
　　　ab＝ba
　　結合法則
　　　(ab)c＝a(bc)
　除　商　÷　／

　　A ＝ BQ ＋ R
　　　Q：商

　　剰余　R
　　　R ＝ A mod B

　分配法則
　　a(b＋c)＝ab＋ac

　倍数

　　公倍数

　　　最小公倍数　L.C.M.　Least Common Multiple
　約数

　　公約数

　　　最大公約数　G.C.M.　Greatest Common Divisor

　互いに素
　　最大公約数が1

総和　Σ、総乗　Π　　　↓

累乗（冪乗、べき乗）
　指数　aⁿ　・・・　a × a × … × a（n回目）

　底（てい）　・・・　累乗される数

　　ネイピア数（オイラー数）　e
　　　＝ 2.71828…

　　　lim_n→∞ (1 ＋ 1／n)ⁿ ＝ e
　　　lim_n→0 (1 ＋ n)^1/n ＝ e
　　　lim_n→0 log (1 ＋ n)^1/n ＝ log e ＝ 1

　　　eⁿ ＝ exp(n)

　a⁰ ＝ 1
　a^m×aⁿ ＝ a^m+n
　a^m／aⁿ ＝ a^m-n
　1／aⁿ ＝ a^-n
　(a^m)ⁿ ＝ a^mn

　二乗（平方）

　　九九

　　10×10 ＝ 100
　　11×11 ＝ 121
　　12×12 ＝ 144
　　13×13 ＝ 169
　　14×14 ＝ 196
　　15×15 ＝ 225
　　16×16 ＝ 256
　　17×17 ＝ 289
　　18×18 ＝ 324
　　19×19 ＝ 361
　　20×20 ＝ 400

累乗根　ⁿ√

　根号（ルート）　√

　平方根
　　√a　(a≧0)

　　√(−a) ＝ √a ・i　(a＞0)

対数　log
　常用対数　log₁₀
　　底：10
　自然対数　log_e、ln
　　底：ネイピア数　e　　　↑

　log_a 1 ＝ 0
　log_a aⁿ ＝ n

　log xy ＝ log x ＋ log y
　log x／y ＝ log x − log y

　底の変換公式
　　log_a b ＝ log_c b／log_c a
br> 階乗　！
　n！ ＝ n × (n-1) × … × 2 × 1

　n個のものの並べ方　＝　n！通り

　0！ ＝ 1

比

　比例・反比例　∝
　　a：比例定数

　　比例
　　　y ∝ x　→　y ＝ ax
　　反比例
　　　y ∝ 1／x　→　y ＝ a／x
　　　y ∝^-1 x

　　比例式
　　　a：b ＝ c：d　⇔　a×d ＝ b×c
　　　　・・・　a／b ＝ c／d

　黄金比　1：φ
　　短：長 ＝ 長：全体（短＋長）となる比
　　φ ＝ 1.618…
　　　・・・　|φ| ＝ (1＋√5)／2　←　φ²−φ−1 ＝ 0　←　1：φ ＝ φ：(1＋φ)　(1＜φ)

　　フィボナッチ数列　　　↓

因数、因子

　因数分解
　　ma±mb ＝ m(a±b)

　　ac x²＋ (ad＋bc) x ＋ bd ＝ (ax＋b)(cx＋d)

　　a²＋2ab＋b² ＝ (a＋b)²
　　a²−2ab＋b² ＝ (a−b)²
　　a²−b² ＝ (a＋b)(a−b)

　　a³＋3a²b＋3ab²＋b³ ＝ (a＋b)³　・・・　(a＋b)²(a＋b)
　　a³−3a²b＋3ab²−b³ ＝ (a−b)³　・・・　(a−b)²(a−b)
　　a³＋b³ ＝ (a＋b)(a²−ab＋b²)
　　a³−b³ ＝ (a−b)(a²＋ab＋b²)

　素因数

　　素数　・・・　無限個存在
　　　2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、
　　　101、103、107、109、113、127、…

　　　フェルマー素数
　　　　2²ⁿ ＋ 1
　　　　　n＝0、1、2、3、4のとき成立
　　　　　3、5、17、257、65537

　　素因数分解　・・・　素数×素数×…

等式
　等号　＝

　恒等式
　　合同記号　≡

不等式　　　↓
　不等号　＞、＜

　　等号付
　　　≧、≦

　　非常に大／小
　　　≫、≪

近似
　≒、≈

否定
　≠

方程式

　解（根）

　2次方程式　ax²＋bx＋c ＝ 0
　　x＝(−b±√(b²−4ac)) ／ 2a
　　　・・・　ax²＋bx＋cをA²−B²の形へ　→　a(x²＋(b／a)x)＋c　→　a(x＋(b／2a))²−(b²／4a)＋c　→　a(x＋(b／2a))²−a((b²−4ac)／4a²)
　　　　　　　(x＋(b／2a))²−(√(b²−4ac)／2a)² ＝ 0　→　{x＋(b／2a)＋(√(b²−4ac)／2a)}{x＋(b／2a)−(√(b²−4ac)／2a)} ＝ 0

　　判別式　D ＝ b²−4ac
　　　D≧0：実数解　α、β
　　　　D＞0：α、β（≠α）
　　　　D＝0：重複解　α（＝β）
　　　D＜0：虚数解　α、β（≠α）

　高次方程式
　　・　5次以上、解法なし
　　・　何次でも複素数の範囲で必ず解（根）を持つ　・・・　代数学の基本定理

　連立方程式

不等式
　不等号　　　↑

　連立不等式

　シュワルツ^ﾉ不等式
　　|a・b|≦|a|・|b|
　　　・・・内積　|a・b|＝|a|・|b|・|cosθ|
　　　　　　|cosθ|≦1より|a|・|b|・|cosθ|≦|a|・|b|

　三角不等式　・・・　三角形の2辺の和は他の1辺より大
　　|a＋b|≦|a|＋|b|
　　　・・・　(|a|＋|b|)²−|a＋b|²＝2|a|・|b|−2|a・b|
　　　　　　　シュワルツ^ﾉ不等式より2(|a|・|b|)−|a・b|)≧0

行列　Matrix　Ａ
　 \( \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{array} \right) \)

　行［ベクトル］　Row
　列［ベクトル］　Column

　零行列　Ｏ
　単位行列　Ｅ
　　 \( \left( \begin{array}{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{array} \right) \)

　転置行列　^tＡ　・・・　行列Ａの縦横逆

　積　ＡＢ　・・・　≠　ＢＡ

　　 \[ \left( \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\ \end{array} \right) \]

　正方行列　・・・　行数＝列数

　　逆行列　Ａ^-1
　　　ＡＡ^-1＝Ａ^-1Ａ＝Ｅ

　　対角行列　・・・　対角成分以外0

　　行列式　|Ａ|、det Ａ
　　　|a b| ＝ ad − bc
　　　|c d|

　　　 \[ \left| \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right| = ad-bc \]
　　　 \[ \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right| = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \]

　　　|Ａ| ＝ 0　・・・　全て0の行（列）が存在

　漸化式　　　↓

　ＡＸ ＝ Ｂ
　　Ｘ ＝ Ａ^-1Ｂ　(|Ａ| ≠ 0)

　Ａx ＝ λx
　　x：固有ベクトル　(x≠ 0)
　　λ：固有値

　　(λＥ−Ａ)x ＝ Ｏ

　　固有方程式
　　　|λＥ−Ａ| ＝ 0

座標系

　位置ベクトル　r

　直交直線座標
　　X−Y−Z　(x,y,z)
　　　X軸
　　　Y軸
　　　Z軸

　　　X−Y　(x,y)

　　　　第２象限｜第１象限
　　　　−−−−＋−−−−
　　　　第３象限｜第４象限

　斜交座標

　［２次元］極座標　(r,θ)

　　x ＝ r cosθ
　　y ＝ r sinθ

　　r ＝ √(x² ＋ y²)
　　tanθ ＝ y／x

　球座標（３次元極座標）　(r,θ,ψ)

論理　　　→
　証明

　　命題
　　　p　⇒　q　・・・　pならばq

　　　　仮定　p
　　　　結論　q

　　　　否定　NOT
　　　　　\( \bar{p} \)　・・・　「pでない」
　　　　　¬p

　　　　逆　q　⇒　p
　　　　裏　\( \bar{p} \)　⇒　\( \bar{q} \)
　　　　対偶　\( \bar{q} \)　⇒　\( \bar{p} \)　・・・　qでないならばpでない

　　　真偽
　　　　真　True
　　　　偽　False

　　　　論理値（真理値）　　　↓

　　　直接証明
　　　　p　真
　　　　↓
　　　　命題（p　⇒　q）　真
　　　　↓
　　　　q　真

　　　対偶［証明］法　・・・　間接証明
　　　　命題　真
　　　　↓
　　　　対偶　真

　　　背理法（帰謬法）　・・・　間接証明
　　　　結論qの否定　\( \bar{q} \)
　　　　↓
　　　　矛盾
　　　　↓
　　　　結論qの否定の否定（二重否定）　q
　　　　　※　排中律（qである、qでない、の二者択一）が成立する場合

　∴　ゆえに
　∵　なぜならば

　全称記号　∀
　　任意の〜　Any
　存在記号　∃
　　〜が存在　Exist

　論理演算
　　論理和　OR　||、|
　　　p ＋ q　・・・　「pまたはq」
　　　p ∨ q
　　論理積　AND　&&、&
　　　p ＊ q　・・・　「pかつq」
　　　p ・ q
　　　p ∧ q

　　否定的論理和　NOR　・・・　NOT（OR）
　　　\( \bar{p ＋ q} \)
　　否定的論理積　NAND　・・・　NOT（AND）
　　　\( \bar{p ＊ q} \)

　　排他的論理和　Exclusive-OR　EOR、XOR
　　　p ⊕ q
　　　p ⊻ q

　　　\( p ＊ \bar{q} ＋ \bar{p} ＊ q \)
　　　\( (p ＋ q) ＊ (\bar{p} ＋ \bar{q}) \)

論理値（真理値）
　真　T　1
　偽　F　0

　ブール領域　Ｂ ＝ {0、1}

集合　Set

　全体集合　Ω
　補集合　Ａ^c、\( \bar{Ａ} \)

　部分集合

　　集合Ａは集合Ｂに属する
　　　Ａ⊆Ｂ、Ｂ⊇Ａ

　　真部分集合
　　　Ａ⊂Ｂ、Ｂ⊃Ａ

　　類

　空集合　φ

　和集合（合併）　∪
　積集合（共通）　∩

　Ａ⊂Ωのとき
　　(Ａ^c)^c ＝ Ａ

　　Ω ＝ Ａ∪Ａ^c

　ド・モルガンの法則
　　Ａ⊂Ω、Ｂ⊂Ωのとき
　　　(Ａ∪Ｂ)^c ＝ Ａ^c∩Ｂ^c
　　　(Ａ∩Ｂ)^c ＝ Ａ^c∪Ｂ^c

　ベン図　Venn Diagram
　オイラー図　Euler Diagram

　閉集合
　開集合

　要素（元）

　　最大値　max
　　最小値　min

　　上限　sup
　　下限　inf

　　要素ａは集合Ａに属する
　　　ａ∈Ａ、Ａ∋ａ

　　（集合Ａの）個数　n(Ａ)
　　　n(Ω) ＝ n(Ａ) ＋ n(Ａ^c)

　領域

　空間　　　↓

写像　f：X → Y　・・・　変換
　X：定義域　Domain　dom(f)
　　原像
　　(x,y)、
　Y：値域　Range　ran(f)
　　像
　　(x',y')、

　x' ＝ ax ＋ by
　y' ＝ cx ＋ dy

　 \[ \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \]

　恒等変換
　　(x',y') ＝ Ｅ(x,y)

　相似変換
　　(x',y') ＝ kＥ(x,y)
　　　k：相似比

　原点(0,0)を中心に反時計回りθ[rad]回転移動
　　x' ＝ cosθ x − sinθ y
　　y' ＝ sinθ x ＋ cosθ y

　 \[ \left( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} cos \theta&-sin \theta\\ sin \theta&cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \]

　合成写像
　　f：X → Y、g：Y → Z　→　g∘f：X → Z

　　f∘f(x) ＝ f(f(x))のとき
　　　fⁿ(x) ＝ f∘f^n-1(x) ＝ f∘f∘…∘f(x)　・・・　n回繰り返し

　関数（函数）　Function　y＝f(x)
　　x：独立変数
　　y：従属変数

　　平行移動
　　　x軸方向へp、y軸方向へq　→　y−q＝f（x−p）　→　y＝f（x−p）＋q

　　多変数関数　z＝f(x,y)

　　合成関数
　　　y＝f(x)、z＝g(y)　→　z＝g(f(x))

　　逆関数　x＝f^-1（y）

　　三角関数
　　　△ABC（∠B＝90°）　底辺　AB＝X、垂線　BC＝Y、斜辺　AC＝Zのとき

　　　正弦関数（サイン）　sine
　　　　sin A ＝ Y／Z
　　　余弦関数（コサイン）　cosine
　　　　cos A ＝ X／Z
　　　正接関数（タンジェント）　tangent
　　　　tan A ＝ Y／X ＝ sin A ／ cos A
　　　正割関数（セカント）
　　　　sec A ＝ 1 ／ cos A ＝ Z／X
　　　余割関数（コセカント）
　　　　cosec A ＝ 1 ／ sin A ＝ Z／Y
　　　余接関数（コタンジェント）
　　　　cot A ＝ 1 ／ tan A ＝ X／Y

　　　逆三角関数
　　　　逆正弦関数（アークサイン）
　　　　　sin^-1 Y／Z ＝ A
　　　　逆余弦関数（アークコサイン）
　　　　　cos^-1 X／Z ＝ A
　　　　逆正接関数（アークタンジェント）
　　　　　tan^-1 Y／X ＝ A

　　　sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1

[°]	[rad]	sin A	cos A	tan A
0	0	0	1	0
30	π／6	1／2	√3／2	1／√3
45	π／4	1／√2	1／√2	1
60	π／3	√3／2	1／2	√3
90	π／2	1	0	∞
180	π	0	−1	0
−90	−π／2	−1	0	−∞

　　　sin(−θ) ＝ −sinθ
　　　cos(−θ) ＝ cosθ
　　　tan(−θ) ＝ −tanθ

　　　sin(θ＋π／2) ＝ cosθ、sin(θ＋π) ＝ −sinθ
　　　cos(θ＋π／2) ＝ −sinθ、cos(θ＋π) ＝ −cosθ

　　　sin(π／2−θ) ＝ cosθ
　　　cos(π／2−θ) ＝ sinθ
　　　tan(π／2−θ) ＝ cotθ

　　　加法定理
　　　　sin(α±β) ＝ sinαcosβ±cosαsinβ
　　　　cos(α±β) ＝ cosαcosβ ∓ sinαsinβ

　　　倍角　2θ　・・・　加法定理より
　　　　sin 2θ ＝ 2sinθcosθ
　　　　cos 2θ ＝ cos²θ−sin²θ
　　　　　　　　＝ 1−2sin²θ ＝ 2cos²θ−1

　　　合成
　　　　a sinθ ＋ b cosθ ＝ √(a²＋b²) sin(θ＋α)
　　　　　cosα ＝ a／√(a²＋b²)
　　　　　sinα ＝ b／√(a²＋b²)
　　　　・・・　a sinθ ＋ b cosθ ＝ √(a²＋b²)・{a／√(a²＋b²)}sinθ ＋ √(a²＋b²)・{b／√(a²＋b²)}cosθ ＝ √(a²＋b²)・(cosαsinθ ＋ sinαcosθ)
　　　　　　　　加法定理よりcosαsinθ ＋ sinαcosθ ＝ sin(α＋θ)

　　双曲線関数
　　　双曲線正弦関数　hyperbolic sine
　　　　sinh x ＝ (e^x − e^-x)／2
　　　双曲線余弦関数　hyperbolic cosine
　　　　cosh x ＝ (e^x ＋ e^-x)／2
　　　双曲線正接関数　hyperbolic tangent
　　　　tanh x ＝ sinh A ／ cosh A ＝ (e^x − e^-x)／(e^x ＋ e^-x)

　　　逆双曲線関数
　　　　arsinh　sinh^-1
　　　　　sinh^-1x ＝ log(x＋√(x²＋1))
　　　　　・・・　sinh x ＝ (e^x − e^-x)／2の両辺にe^xを掛けると
　　　　　　　　　2e^x・sinh x ＝ e^2x − 1
　　　　　　　　　2次方程式　X²−2X・sinh x −1 ＝ 0を解くとX ＝ e^x ＝ sinh x＋√{(sinh x)²＋1}　(e^x＞0)
　　　　　　　　　x ＝ log(sinh x＋√{(sinh x)²＋1})
　　　　arcosh　cosh^-1
　　　　　cosh^-1x ＝ log(x＋√(x²−1))
　　　　　・・・　2e^x・cosh x ＝ e^2x ＋ 1
　　　　　　　　　2次方程式　X²−2X・cosh x ＋1 ＝ 0を解くとX ＝ e^x ＝ cosh x＋√{(cosh x)²−1}　(e^x＞0)
　　　　　　　　　x ＝ log(cosh x＋√{(cosh x)²−1})
　　　　artanh　tanh^-1
　　　　　tanh^-1 ＝ (1／2)・log{(1＋x)／(1−x)}
　　　　　・・・　tanh x ＝ (e^2x − 1)／(e^2x ＋ 1)
　　　　　　　　　e^2x(1−tanh x) ＝ 1＋tanh x
　　　　　　　　　2x ＝ log{(1＋tanh x)(1−tanh x)}

　　導関数　　　↓

　カオス

総和　Σ
　_i=1Σⁿ x_i ＝ x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ x<sub>n

　i=1</sub>Σⁿ 1 ＝ n

　_i=1Σⁿ i ＝ 1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＝ n(n＋1) ／ 2
　　・・・　{1 ＋ n} ＋ {2 ＋ (n−1)} ＋ … ＋ {n／2 ＋ (n／2 ＋ 1)} ＝ {(1 ＋ n) × (n／2)}

　_i=1Σⁿ i² ＝ 1² ＋ 2² ＋ … ＋ n² ＝ n(n＋1)(2n＋1) ／ 6
　　・・・　(i＋1)³ ＝ i³ ＋ 3i² ＋ 3i ＋ 1　→　(i＋1)³ − i³ ＝ 3i² ＋ 3i ＋ 1
　　　　　　2³−1³ ＝ 3・1² ＋ 3・1 ＋ 1から
　　　　　　3³−2³ ＝ 3・2² ＋ 3・2 ＋ 1
　　　　　　:
　　　　　　(n＋1)³−n³ ＝ 3・n² ＋ 3・n ＋ 1まで加算
　　　　　　→　(n＋1)³−1³ ＝ 3Σi² ＋ 3Σi ＋ n
　　　　　　→　3Σi² ＝ (n＋1)³ − 1 − 3／2 n(n＋1) − n ＝ n³ ＋ 3／2 n² ＋ 1／2 n ＝ n／2 (2n² ＋ 3n ＋ 1) ＝ n(2n＋1)(n＋1) ／2

　_i=1Σⁿ i³ ＝ 1³ ＋ 2³ ＋ … ＋ n³ ＝ {n(n＋1) ／ 2}²
　　・・・　(i＋1)⁴ ＝ i⁴ ＋ 3i³ ＋ 3i² ＋ i ＋ i³ ＋ 3i² ＋ 3i ＋ 1　→　(i＋1)⁴ − i⁴ ＝ 4i³ ＋ 6i² ＋ 4i ＋ 1
　　　　　　2⁴−1⁴ ＝ 4・1³ ＋ 6・1² ＋ 4・1 ＋ 1から
　　　　　　3⁴−2⁴ ＝ 4・2³ ＋ 6・2² ＋ 4・2 ＋ 1
　　　　　　:
　　　　　　(n＋1)⁴−n⁴ ＝ 4・n³ ＋ 6・n² ＋ 4・n ＋ 1まで加算
　　　　　　→　(n＋1)⁴−1⁴ ＝ 4Σi³ ＋ 6Σi² ＋ 4Σi ＋ n
　　　　　　→　4Σi³ ＝ (n＋1)⁴ − 1 − n(n＋1)(2n＋1) − 2n(n＋1) − n ＝ n²(n² ＋ 2n ＋ 1) ＝ n²(n＋1)²

　_i=1Σⁿ_j=1Σ^m Ａ_ij ＝ _j=1Σ^m Ａ_1j ＋ _j=1Σ^m Ａ_2j ＋ … ＋ _j=1Σ^m Ａ_nj

総乗　Π
　_i=1Πⁿ x_i ＝ x₁ × x₂ × … × x_n

数列

　収束

　　コーシー列（基本列）　・・・　有界
　　収束列
　　　「収束列はコーシー列」
　　　「コーシー列は収束する部分列を持つならば収束列」

　発散

　等差数列　a_n+1−a_n ＝ d
　　一般項（第n項）
　　　a_n ＝ a₁ ＋ (n−1)d
　　　　a₁：初項、d：公差

　　総和　_i=1Σⁿ a_i
　　　＝ a₁n　＋　(n−1)nd／2
　　　・・・　_i=1Σⁿ a₁ ＋ _i=1Σⁿ (i−1)d

　等比数列　a_n+1／a_n ＝ r
　　一般項（第n項）
　　　a_n ＝ a₁・r^n-1
　　　　a₁：初項、r：公比

　　総和　_i=1Σⁿ a_i
　　　＝ a₁(1−rⁿ)／(1−r)
　　　　※　r＝1のときna₁
　　　・・・　_i=1Σⁿ a_i ＝ S_nとおくと
　　　　　　　S_n ＝ a₁(r⁰ ＋ r¹ ＋　r² ＋ … ＋ r^n-1)
　　　　　　　rS_n ＝ a₁(r¹ ＋ r² ＋ … ＋ r^n-1 ＋ rⁿ)
　　　　　　　(1−r)S_n ＝ a₁(1−rⁿ)

　階差数列
　　b_n ＝ a_n+1−a_nのとき
　　　a_n ＝ a₁ ＋ _k=1Σ^n-1 b_k　(n≧2)
　　　・・・n＝2　→　b₁ ＝ a₂−a₁
　　　　　　n＝k−1　→　b_k-1 ＝ a_k−a_k-1
　　　　　　n＝k　→　b_k ＝ a_k+1−a_k
　　　　　　b_k ＋ b_k-1 ＋ … ＋ b₁ ＝ (a_k+1−a_k) ＋ (a_k−a_k-1) ＋ … ＋ (a₂−a₁) ＝ a_k+1−a₁

　フィボナッチ数列　Fibonatti
　　a_n ＋ a_n+1 ＝ a_n+2　(a₁ ＝ a₂ ＝ 1)のとき
　　　a_n ＝ 1／√5 [{(1＋√5)／2}ⁿ−{(1−√5)／2}ⁿ] ＝ 1／√5 {φⁿ−(1−φ)ⁿ}
　　　　φ：黄金比　　　↑
　　　・・・x²−x−1 ＝ (x−α)(x−β) ＝ x²−αx−βx＋αβ
　　　　　　　黄金比　x　⇒　x²−x−1 ＝ 0の解　⇒　α＝(1＋√5)／2、β＝(1−√5)／2
　　　　　　よってa_n ＋ a_n+1 ＝ a_n+2　⇒　a_n+2 − a_n+1 − a_n ＝ 0 　⇒　a_n+2 − αa_n+1 − βa_n+1 ＋ αβa_n ＝ 0
　　　　　　a_n+2 − αa_n+1 ＝ β(a_n+1 − αa_n)
　　　　　　a_n+1 − αa_n ＝ β(a_n − αa_n-1) 、…なので
　　　　　　a_n+2 − αa_n+1 ＝ β(a_n+1 − αa_n) ＝ β²(a_n − αa_n-1) ＝ … ＝ βⁿ(a₂ − αa₁) ＝ βⁿ(1−α)
　　　　　　同様にa_n+2 − βa_n+1 ＝ α(a_n+1 − βa_n) ＝ … ＝ αⁿ(a₂ − βa₁) ＝ αⁿ(1−β)
　　　　　　a_n+2消去　⇒　(α−β)a_n+1 ＝ αⁿ(1−β) − βⁿ(1−α)
　　　　　　a_n ＝ {α^n-1(1−β)−β^n-1(1−α)} ／ (α−β)
　　　　　　α＝(1＋√5)／2、β＝(1−√5)／2代入
　　　　　　　α＝1−β、β＝1−α＝−1／α、α−β＝√5
　　　　　　　　1／α ＝ 2／(1＋√5) ＝ 2(1−√5)／−4 ＝ −β
　　　　　　a_n ＝ (αⁿ−βⁿ) ／ √5

　　フィボナッチ数
　　　a₃＝2、a₄＝3、a₅＝5、a₆＝8、a₇＝13、…

　漸化式　　　↓

級数

　無限級数

　　無限等比級数　Σa₁・r^n-1
　　　|r|＜1のとき収束
　　　　→a₁／(1−r)
　　　　・・・　S_n ＝ a₁(1−rⁿ)／(1−r)
　　　　　　　　|r|＜1のときrⁿ→0
　　　|r|≧1のとき発散

　　　y／x ＝ y／(1＋x) ＋ y／(1＋x)² ＋ … ＋ y／(1＋x)ⁿ ＋ …
　　　　・・・　初項：y／(1＋x) 、公比：1／(1＋x) の無限等比級数の和は{y／(1＋x)}／{x／(1＋x)}

　三角級数

　フーリエ級数

　　フーリエ展開　　　↓

　級数展開
　　テイラー展開
　　　f(x) ＝ f(a) ＋ (x−a)f′(a) ＋ {(x−a)² ／ 2！}f″(a) ＋ … ＋ {(x−a)ⁿ ／ n！} f⁽ⁿ⁾(a) ＋ …

　　　マクローリン展開　・・・　a＝0のとき
　　　　f(x) ＝ f(0) ＋ xf′(0) ＋ (x²／2！)f″(0) ＋ … ＋ (xⁿ／n！) f⁽ⁿ⁾(0) ＋ …

　　　　1／(1−x)² ＝ _n=1Σ^∞ nx^n-1
　　　　　≒ 1 ＋ 2x
　　　　e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²／2！ ＋ x³／3！ ＋ … ＋ xⁿ／n！ ＋ …
　　　　cos x ＝ 1 − x²／2！ ＋ x⁴／4！ − …
　　　　sin x ＝ x − x³／3！ ＋ x⁵／5！ − …

　　　　オイラー^ﾉ方程式　e^ix ＝ exp(ix) ＝ cos x ＋ i sin x

　　フーリエ展開
　　　f(x) ＝ a₀ ＋ _n=1Σ^∞ (a_n cos nx ＋ b_n sin nx)

漸化式（差分方程式）
　数列
　　a_n+1 ＝ f(a_n)　(n∈Ｎ　・・・　n＝自然数)

　　　等差数列、等比数列　　　↑

　行列
　　Ａⁿ⁺¹ ＝ ＡⁿＡ ＝ ＡＡⁿ

　 \[ \left( \begin{array}{cc} a_{n+1}&b_{n+1}\\ c_{n+1}&d_{n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n} \end{array} \right) \]

極限　Limit　lim
　x→aのときf(x)→b　⇒　lim_x→a f(x) ＝ b

　lim_n→∞ n^x／aⁿ　(x＞0)
　　a＞1のとき　0
　　0＜a≦1のとき　∞

　　lim_n→∞ n^x／eⁿ ＝ 0　(x＞0)

　ネイピア数　e　　　↑

微分

　変化　Δ
　　微小変化　�凵Ad

　　変化量　Δx ＝ x₂−x₁
　　変化率　Δx／x

　導関数　y′、f′(x)、dy／dx
　　f′(x) ＝ lim_�凅→0 {f(x＋�凅)−f(x)} ／ �凅

　　y ＝ C（定数）　→　y′＝ 0
　　d／dx x^a ＝ ax^a−1
　　d／dx 1／x ＝ −1／x²
　　d／dx √x ＝ 1／(2√x)
　　d／dx e^x ＝ e^x
　　　・・・　d／dx e^x ＝ lim_�凅→0 (e^x＋�凅−e^x) ／ �凅 ＝ lim_�凅→0 e^x(e^�凅−1) ／ �凅
　　　　　　　e^�凅−1 ＝ Xとおくと�凅 ＝ log (1＋X)
　　　　　　　(e^�凅−1) ／ �凅 ＝ X ／ log (1＋X)
　　　　　　　�凅→0のときX→0
　　　　　　　lim_X→0 X ／ log (1＋X) ＝ lim_X→0 1 ／ log (1＋X)^1/X ＝ lim_X→0 1 ／ log e ＝ 1
　　　　　　　lim_�凅→0 e^x(e^�凅−1) ／ �凅 ＝ e^x
　　　　　　　結果、変わらない
　　d／dx log |x| ＝ 1／x
　　d／dx sin x ＝ cos x
　　d／dx cos x ＝ −sin x

　　dy／dx ＝ (dy／dz)(dz／dx)

　　　d／dx a^x ＝ (log a)a^x
　　　　・・・　a^x ＝ e^{x log a}なので
　　　　　　　　　両辺log^e掛ければ同じ
　　　　　　　　z ＝ x log a　→　d／dx e^z ＝ e^z × log a ＝ a^x × log a
　　　d／dx sin 2x ＝ 2 cos 2x
　　　　・・・　z ＝ 2x　→　d／dx sin z ＝ cos z × 2
　　　d／dx sin²x ＝ sin 2x
　　　　・・・　z ＝ sin x　→　d／dx z² ＝ 2z × cos x ＝ 2 sin x・cos x

　　y ＝ f(x)・g(x)のとき
　　　y′＝ f′(x)・g(x) ＋ f(x)・g′(x)

　　2階導関数　y″、f″(x)、d²y／dx²

　　n階導関数　y⁽ⁿ⁾、f⁽ⁿ⁾(x)、dⁿy／dxⁿ

　偏微分　∂　・・・　多変数関数の微分

　　偏導関数
　　　f_x、∂f(x,y)／∂x
　　　　＝ lim_�凅→0 {f(x＋�凅,y)−f(x,y)} ／ �凅
　　　f_y、∂f(x,y)／∂y
　　　　＝ lim_�凉→0 {f(x,y＋�凉)−f(x,y)} ／ �凉

　全微分

　極値（極大値・極小値）
　　x＝cでf(x)が極値のとき、f′(c) ＝ 0　（f′(c)が存在する場合）
　　　f(c)：極値
　　　　極大値　・・・　x増加のとき、f′(x)が増加から減少
　　　　極小値　・・・　x増加のとき、f′(x)が減少から増加

　最大値・最小値
　　閉区間[a,b]において
　　　f(x)の全極値、f(a)、f(b)のうち最大・最小の値がf(x)の最大値・最小値

　微分方程式　・・・　導関数（y′など）からy ＝ f(x)を求める
　　y′＝ ky　⇒　y ＝ Ae^kx （A：任意定数）
　　　・・・　(1／y)y′＝ k　→　∫(1／y)dy ＝ ∫k dx
　　　　　　　log |y|＋C（定数） ＝ kx　→　log |y| ＝ kx ＋ C'
　　　　　　　|y| ＝ e^kx＋C'
　　　　　　　±e^C' ＝ Aとおくとy ＝ Ae^kx
　　y′＝ kxy　⇒　y ＝ Ae^kx2 （A：任意定数）
　　　・・・　(1／y)y′＝ kx　→　∫(1／y)dy ＝ ∫kx dx
　　　　　　　log |y|＋C ＝ kx²　→　log |y| ＝ kx² ＋ C'
　　　　　　　|y| ＝ e^kx2＋C'
　　　　　　　±e^C' ＝ Aとおくとy ＝ Ae^kx2
　　y″＝ 0　⇒　y ＝ C₁x ＋ C₂　（C₁、C₂：任意定数）

　　偏微分方程式

　　　波動方程式　　　→

近似式
　x≒0のとき
　　f(a＋x)≒f(a) ＋ xf′(a) ＋ (x²／2)f″(a)
　　　テイラー展開　　　↑

　　　(1＋x)ⁿ≒1 ＋ nx ＋ n(n−1) x²／2
　　　　・・・　f(h) ＝ hⁿのとき、f′(h) ＝ nh^n-1、f″(h) ＝ n(n−1)h^n-2
　　　　　　　　f(1) ＝ 1、f′(1) ＝ n、f″(x) ＝ n(n−1)

　　sin x≒x
　　cos x≒1
　　tan x≒x

積分　∫

　y′＝ 0　→　y ＝ C（定数）

　∫a dx ＝ ax ＋ C
　　C：積分定数
　∫x^a dx ＝ 1／(a＋1) ・x^a＋1 ＋ C （a≠−1）
　∫e^x dx ＝ e^x ＋ C
　　・・・　d／dx e^x ＝ e^xの逆算
　∫(1／x) dx ＝ log |x| ＋ C
　　・・・　d／dx log |x| ＝ 1／xの逆算
　∫cos x dx ＝ sin x＋C
　　・・・　d／dx sin x ＝ cos xの逆算
　∫sin x dx ＝ −cos x＋C
　　・・・　d／dx cos x ＝ −sin xの逆算

　∫cos 2x dx ＝ sin 2x ／ 2 ＋C
　　・・・　d／dx sin 2x ＝ 2 cos 2xの逆算

　∫sin²x dx ＝ x／2 − sin 2x ／ 4
　　・・・　倍角　cos 2θ ＝ 1−2sin²θ　→　sin²θ ＝ (1−cos2θ)／2
　　　　　　∫sin²x dx ＝ x／2 − ∫cos 2x ／ 2

　定積分
　　区分求積法
　　　∫^b_a f(x)dx ＝ lim_{n→∞ i=1}Σⁿ f(x_i)�凅　・・・　n個（n→∞）の長方形の面積の和

　　∫^a_a f(x)dx ＝ 0
　　∫^b_a f(x)dx ＝ −∫^a_b f(x)dx

　置換積分
　　∫^b_a f(x)dx ＝ ∫^B_A f(g(t)) (dx／dt) dt
　　　b ＝ g(B）、a ＝ g(A）

　部分積分
　　∫f′(x)g(x)dx ＝ f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx

　　　f′(x)＝1のとき　・・・　f(x)＝xのとき
　　　　∫g(x)dx ＝ xg(x)−∫xg′(x)dx

　　∫log|x| dx ＝ x log|x| − ∫x・(1／x) dx ＝ x log|x| − x

　�刀@・・・　1周期（1サイクル）積分
　　＝ ∫ ＋ ∫ ＋ ∫ ＋ …

　重積分　∬

　三重積分　∭

　積分方程式

　弧長（曲線の長さ）　l

　　曲線y＝f(x)（a≦x≦b）の弧長
　　　l＝∫^b_a √{1＋f′(x)²}dx
　　　・・・　点P(x,f(x))、点Q(x＋�凅,f(x＋�凅))間の弧長　PQ_lをl(x＋�凅)−l(x)とする
　　　　　　　点P、点Q間の［直線］距離　PQ ＝ √{�凅² ＋ (f(x＋�凅)−f(x))²}
　　　　　　　{l(x＋�凅)−l(x)} ／ �凅 ＝ (PQ_l／PQ) √{�凅² ＋ (f(x＋�凅)−f(x))²}／�凅
　　　　　　　�凅→0のときPQ_l＝PQ
　　　　　　　lim_�凅→0 {l(x＋�凅)−l(x)} ／ �凅 ＝ √{1 ＋ lim_�凅→0 {(f(x＋�凅)−f(x)) ／ �凅}²}
　　　　　　　dl／dx ＝ √{1 ＋ (dy／dx)²}

　　　媒介変数　x(t)、y(t)（α≦t≦β）の場合
　　　　l＝∫^β_α √{x′(t)² ＋ y′(t)²}dt
　　　　・・・　l＝∫^β_α √{1＋((dy／dt)／(dx／dt))²}(dx／dt)dt
　　　　　　　　＝∫^β_α √{(dx／dt)²＋(dy／dt)²}dt

　　キルビメーター

　面積　S

　　曲線y＝f(x)（≧0）とx軸、x＝a、x＝b（a＜b）で囲まれた図形の面積
　　　S＝∫^b_a |f(x)|dx

　　プラニメーター（面積計）

　体積　V

　　立体をx軸に垂直な平面で切ったときの断面積をS(x)とすると
　　　V＝∫^b_a S(x)dx

角　∠
　角度　　　→

　鋭角
　　0°〜90°
　直角　��、∠R
　　90°
　鈍角
　　90°〜180°

　中心角　　　↓

点

　原点(0,0)

　点(x₁,y₁,z₁)、点(x₂,y₂,z₂)間の［ユークリッド］距離
　　＝ √{(x₂−x₁)²＋(y₂−y₁)²＋(z₂−z₁)²}

閉区間　[a,b]　・・・　a≦x≦b
開区間　(a,b)　・・・　a＜x＜b

直線　Ax＋By＋C ＝ 0
　y ＝ ax＋b
　　a：傾き、b：切片
　x／a' ＋ y／b' ＝ 1
　　a'：x切片、b'：y切片

　線分

　　開線分　・・・　端点含まず

　点(x₁,y₁)を通る直線
　　y−y₁ ＝ a(x−x₁)
　　　・・・　y ＝ ax＋b、y₁ ＝ ax₁＋bより
　点(x₁,y₁)、点(x₂,y₂)を通る直線
　　y−y₁ ＝ {(y₂−y₁)／(x₂−x₁)} (x−x₁)　(x₁≠x₂)
　　　・・・　y₂−y₁ ＝ a(x₂−x₁)より

　平行　‖
　　y ＝ ax＋b、y ＝ αx＋βが平行
　　　→　a＝α
　垂直　⊥
　　y ＝ ax＋b、y ＝ αx＋βが直交
　　　→　aα＝−1　・・・　直交条件
　　　・・・交点を原点とし、y＝ax、y＝αx、x＝cで囲んだ△OPQが直角三角形のとき
　　　　　　　O(0,0）、P(c,ac)、Q(c,αc）
　　　　　　PQ²＝OP²＋OQ²　・・・　三平方^ﾉ定理　　　↓
　　　　　　(αc−ac)²＝{c²＋(ac)²}＋{c²＋(αc)²}
　　　　　　(α−a)²＝(1＋a²)＋(1＋α²)
　　　　　　−2aα＝2

分点
　線分ABをm：nに分ける点
　　(na＋mb)／(m＋n)
　　　m＞0、n＞0のとき内分
　　　mn＜0のとき外分　・・・　分点が線分の外
　　　・・・分点をPとすると\( \vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \)、\( \vec{AP}=\frac{m}{m＋n}\vec{AB} \)
　　　　　　p＝a ＋ {m／(m＋n)}(b−a)

　　a ＝ (x₁,y₁,z₁)、b ＝ (x₂,y₂,z₂)のとき
　　　((nx₁＋mx₂)／(m＋n),(ny₁＋my₂)／(m＋n),(nz₁＋mz₂)／(m＋n))

接線
　y＝f(x)の点(a,f(a))
　　y−f(a)＝f′(a)(x−a)

法線　・・・　⊥　接線
　y＝f(x)の点(a,f(a))
　　y−f(a)＝−{1／f′(a)}(x−a)　・・・　直交条件より

漸近線

軌跡

　媒介変数（助変数）　Parameter

曲線

　弧長（曲線の長さ）　　　↑

　閉曲線

　円錐曲線　・・・　円錐の切り口
　　２次曲線

　　双曲線
　　　F₁P − F₂P ＝ 一定となる点Pの軌跡
　　　　F₁、F₂：焦点

　　　x²／a² − y²／b² ＝ 1

　　　双曲線関数　　　↑

　　　漸近線　　　↑

　　放物線
　　　FP ＝ lPとなる点Pの軌跡
　　　　F：定点
　　　　l：定直線　x ＝ p

　　　x² ＝ 4py
　　　y ＝ ax²＋bx＋c

　　楕円
　　　F₁P ＋ F₂P ＝ 一定となる点Pの軌跡
　　　　F₁、F₂：焦点

　　　x²／a² ＋ y²／b² ＝ 1
　　　x ＝ a cosθ、y ＝ b sinθ

　　　極方程式　・・・　極座標
　　　　r ＝ a(1−e cosθ)

　　　r ＝ a−ex

　　　長径（長半径、長軸半径）　a
　　　短径（短半径、短軸半径）　b

　　　離心角　θ

　　　離心率　e
　　　　＝ √(a²−b²) ／ a

　　　b ＝ a √(1−e²)

　　　準線
　　　　x ＝ ±a／e

　　　偏平率（扁平率）　f
　　　　＝ (a−b)／a

　　　e ＝ √{f(2−f)}
　　　・・・b／a ＝ √(1−e²)、f ＝ 1−b／aより
　　　　　　f ＝ 1−√(1−e²)
　　　　　　1−e² ＝ (1−f)²
　　　　　　e² ＝ 2f − f²

　　　曲率　κ　・・・　曲がり具合
　　　　＝ lim _�冲→0 (�刄ﾆ／�冤)
　　　　　�刄ﾆ：(t＋�冲)時の接線とt時の接線のなす角
　　　　　�冤：弧長
　　　　　　＝ l(t＋�冲)−l(t)

　　　曲率半径　R
　　　　急カーブ　←　小　−　R　−　大　→　直線（R＝∞）

　　　　＝ 1／κ

　　　面積　S
　　　　＝πab

　　　円　x²＋y² ＝ r²　・・・　a ＝ b ＝ r
　　　　x ＝ r cosθ、y ＝ r sinθ

　　　　径
　　　　　直径　Diameter　D、φ
　　　　　　D ＝ 2r
　　　　　半径　Radius　r

　　　　円周率　π
　　　　　＝ 円周／直径
　　　　　＝ 3.14159…

　　　　円周
　　　　　＝ 2πr

　　　　　弦

　　　　面積　S
　　　　　＝πr²
　　　　　　・・・S＝∫^r₀ √(r²−x²) dx × 4
　　　　　　　　　x ＝ r cosθで置換
　　　　　　　　　S＝∫⁰_π／2 r√(1−cos²θ) (dx／dθ) dθ × 4
　　　　　　　　　　dx／dθ ＝ −r sinθより
　　　　　　　　　S＝∫₀^π／2 r²sin²θ dθ × 4
　　　　　　　　　∫sin²x dx ＝ x／2 − sin 2x ／ 4より
　　　　　　　　　S＝r²(π／4) × 4 ＝ πr²

　　　　扇形
　　　　　中心角　θ

　　　　　円周角　θ／2　・・・　π−｛（2π−θ）／2｝

　　　　　弧
　　　　　　弧長　l
　　　　　　　l ＝ rθ　・・・　θ[rad]：π[rad] ＝ l：πr

　　　　　面積　S
　　　　　　＝1／2 r²θ　・・・　θ[rad]：2π[rad] ＝ S：πr²
　　　　　　＝1／2 rl

　　　　半円
　　　　　中心角　π

　　　　　円周角　π／2

　　接弦定理
　　　三角形とその外接円があるとき、三角形の頂点を通る円の接線とその接点から引かれた弦の間の角は、その弦に対する円周角に等しい
　　　・・・　△ABCの頂点Cを通る接線と弦CBの間の角を∠X、
　　　　　　　弦CBに対する円周角を∠A、
　　　　　　　外接円の中心をOとすると
　　　　　　　∠COB＝2×∠A
　　　　　　　∠OCB＝∠OBC＝(180°−2∠A)／2
　　　　　　　線分OCは接線と直角なので、∠X＝90°−∠OCB＝∠A

　　方冪（べき）定理

　楕円曲線
　　３次曲線

　　y² ＝ x(x−a)(x＋b)

　リサジュー図形　　　→

　懸垂線（カテナリー曲線）　・・・　自然界でみられる曲線
　　y ＝ a cosh (x/a) ＝ a (e^x/a ＋ e^-x/a)／2

　カッシーニ^ﾉ卵形［線］
　　F₁P × F₂P ＝ 一定となる点Pの軌跡

　　(x²＋b²＋y²)²−4x²b² ＝ a⁴
　　　・・・　点P(x,y)、点F₁(−b,0)、点F₂(b,0)のとき
　　　　　　　√{(x＋b)²＋y²} × √{(x−b)²＋y²} ＝ a²（一定）
　　　　　　　両辺2乗　→　(x²＋2xb＋b²＋y²)(x²−2xb＋b²＋y²) ＝ a⁴

　　a＝bのとき
　　　レムニスケート　・・・　横８の字
　　　　極座標
　　　　　r² ＝ 2a²cos 2θ

　　　　(x²＋y²)²−2a²(x²−y²) ＝ 0
　　　　・・・　a＝bのときx⁴＋y⁴−2x²a²＋2y²a²＋2x²y² ＝ 0
　　　　　　　　x ＝ r cosθ、y ＝ r sinθ
　　　　　　　　→　r⁴ ＝ 2a²r²cos 2θ
　　b＝0のとき
　　　円

　サイクロイド　・・・　直線上を転がる円の円周上の定点の軌跡
　　x ＝ r(θ−sinθ)、y ＝ r(1−cosθ)

　アステロイド（内サイクロイド）　・・・　円の内周を転がる円の円周上の定点の軌跡
　　x^2/3 ＋ y^2/3 ＝ r^2/3

　　x ＝ r cos³θ、y ＝ r sin³θ

　カージオイド（外サイクロイド）　・・・　円の外周を転がる円の円周上の定点の軌跡
　　極座標
　　　r ＝ a(1＋cos θ)

　　(x²＋y²)(x²＋y²−2ax) −a²y² ＝ 0
　　・・・　x ＝ r cosθ、y ＝ r sinθ
　　　　　　→　r²−2ar cosθ − a²sin²θ ＝ 0
　　　　　　　　r²−2ar cosθ − a²(1−cos²θ) ＝ 0
　　　　　　　　(r−a cos θ)² ＝ a²

　　x ＝ a(1＋cos θ)cos θ、y ＝ a(1＋cos θ)sin θ

　クロソイド曲線
　　曲率半径 × 始点からの弧長 ＝ 一定となる点の軌跡

　　道路線形　　　→
　　　速度一定、ハンドルの角速度一定で回転した場合の走行軌跡

合同　≡
相似　∽

　相似比　k

　面積比　k²
　　・・・　三角形　S ＝ 1／2 ab、S' ＝ 1／2 ka・kb ＝ k²S
　　　　　　円　S ＝ πr²、S' ＝ π(kr)² ＝ k²S
　体積比　k³

三角形　△
　内角の和 ＝ 180°

　面積　S
　　＝ 1／2 × 底辺 × 高さ

　　△ABC　∠A＝θのとき
　　　S ＝ 1／2 × AB × AC × sinθ

　正三角形
　二等辺三角形
　直角三角形
　　△ABC（∠B＝90°）　底辺　AB＝X、垂線　BC＝Y、斜辺　AC＝Zのとき

　　　三平方^ﾉ定理（ピタゴラス^ﾉ定理）
　　　　Z² ＝ X² ＋ Y²

　　　三角関数　　　↑

　合同　　　↑
　　・　3辺が等しい
　　・　2辺とその間の角が等しい
　　・　1辺とその両端の角が等しい
　相似　　　↑
　　・　3辺の比が等しい
　　・　2辺の比とその間の角が等しい
　　・　2角が等しい

　中線　・・・　頂点　−　向かい合う辺の中点

　中線連結定理
　　△ABCの辺AB、ACの中点をM、Nとすると
　　　MN ‖ BC
　　　MN ＝ 1／2 BC

　重心
　　3つの中線の交点
　　g ＝ (a＋b＋c)／3

　　a ＝ (x₁,y₁)、b ＝ (x₂,y₂)、c ＝ (x₃,y₃)のとき
　　　((x₁＋x₂＋x₃)／3,(y₁＋y₂＋y₃)／3)

　　中線の2：1の内分点
　　　・・・　g ＝ (a＋2m)／3、m ＝ (b＋c)／2より

　メネラウスの定理

　チェバの定理

　余弦定理
　　a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cos A
　　・・・　三平方^ﾉ定理よりa² ＝ （b sin A）² ＋ （c − b cos A）²
　　　　　　＝ b²（sin²A ＋ cos²A） ＋ c² − 2bc cos A

　内接円

　　内心　・・・　内接円の中心
　外接円

　　外心　・・・　外接円の中心

　正弦定理
　　△ABC　AB＝c、BC＝a、AC＝bのとき
　　　2R ＝ a ／ sin A ＝ b ／ sin B ＝ c ／ sin C
　　　　R：外接円の半径
　　　・・・　0 ＜ ∠A ＜ π／2のとき、BDを直径とする△BDCをつくるとBD ＝ 2R、∠A ＝ ∠D、∠BCD ＝ π／2
　　　　　　　BC ＝ BD sin D

四角形　□
　△×2
　内角の和 ＝ 360°

　長方形

　　面積　S
　　　＝ 縦 × 横

　　正方形
　平行四辺形

　　面積　S
　　　＝ 底辺 × 高さ

　　　平行四辺形ABCD　∠A＝θのとき
　　　　S ＝ AB × AD × sinθ
　台形
　菱形

多角形
　n角形
　　△×(n−2)
　　内角の和 ＝ 180°× (n−2)

　五角形
　六角形

平面
　ax＋by＋cz＋d ＝ 0

　法線ベクトル　n　・・・　平面に垂直なベクトル
　　＝ (a,b,c)　・・・　x、y、zの係数がベクトルの成分

　　平面OABの法線ベクトル
　　　＝ A×B　・・・　外積

　２平面のなす角　θ
　　平面１：ax＋by＋cz＋d ＝ 0
　　平面２：a'x＋b'y＋c'z＋d' ＝ 0

　　cos θ ＝ (n・n')／(|n||n'|) ＝ (aa' ＋ bb' ＋ cc') ／ {√(a² ＋ b² ＋ c²) × √(a'² ＋ b'² ＋ c'²)}　・・・　内積
　　　平面１の法線ベクトル　n ＝ (a,b,c)
　　　平面２の法線ベクトル　n' ＝ (a',b',c')

　射影

　　正射影
　　　直線ABの平面上への正射影　A'B'
　　　　A'、B'：点A、Bから平面へ下した垂線の足

　　　　A'B' ＝ AB cosθ　・・・　内積と同じ

立体
　多面体

　　角柱　　　↓

　　　直方体

　　　　体積　V
　　　　　＝ 縦 × 横 × 高さ

　　　　立方体　Cube　・・・　正四角柱

　　角錐　　　↓

　　四面体
　　　三角錐　　　↓

　　　重心
　　　　4線（頂点　−　向かい合う面の重心）の交点
　　　　g ＝ (a＋b＋c＋d)／4

　　　　a ＝ (x₁,y₁,z₁)、b ＝ (x₂,y₂,z₂)、c ＝ (x₃,y₃,z₃)、d ＝ (x₄,y₄,z₄)のとき
　　　　　((x₁＋x₂＋x₃＋x₄)／4,(y₁＋y₂＋y₃＋y₄)／4)

　　　　（頂点　−　向かい合う面の重心）の3：1の内分点
　　　　　・・・　g ＝ (d＋3G)／4、G ＝ (a＋b＋c)／3より

　　　正四面体　＝　正三角錐

　　六面体

　　　正六面体　＝　立方体

　　　平行六面体

　　正多面体
　　　正四面体、正六面体　　　↑
　　　正八面体
　　　正十二面体
　　　正二十面体

　柱体

　　体積　V
　　　＝ 底面積 × 高さ
　　側面積　S
　　　＝ 底面の周長 × 高さ

　　角柱
　　　側面：四角形

　　　三角柱
　　　　底面：三角形
　　　四角柱
　　　　底面：四角形

　　　　直方体　　　↑

　　　　正四角柱
　　　　　底面：正方形

　　　　　立方体　　　↑
　　円柱

　円筒

　錐体
　　角錐
　　　側面：三角形

　　　体積　V
　　　　＝ 1／3 × 底面積 × 高さ
　　　　・・・　原点からy軸方向へ高さhの錐体をとる（0≦y≦h）
　　　　　　　　錐体の底面及び高さyでy軸と垂直な平面に切られた断面は相似図形（相似比＝h：y）
　　　　　　　　錐体の底面積S及び高さyで切られた断面積S(y)の面積比は相似比の2乗　→　S：S(y) ＝ h²：y²
　　　　　　　　S(y) ＝ (y² ／ h²) S
　　　　　　　　∫(y² ／ h²) dy ＝ y³ ／ (3h²)
　　　　　　　　V＝∫^h₀ S(y)dy ＝ ∫^h₀ (y² ／ h²) S dy ＝ (h ／ 3) S

　　　三角錐
　　　　底面：三角形

　　　　正三角錐
　　　　　底面：正三角形

　　　　　正四面体　　　↑
　　　四角錐
　　　　三角錐×2
　　　　底面：四角形
　　円錐

　楕円体　x²／a² ＋ y²／b² ＋ z²／c² ≦ 1

　　地球楕円体　　　→

　　球　x²＋y²＋z² ≦ r²

　　　体積　V
　　　　4／3 × πr³
　　　表面積　S
　　　　4πr²

　　　球面　x²＋y²＋z² ＝ r²

　球殻

　円環体（トーラス）

　展開

　曲面

　　球面　　　↑

　　メビウスの輪（メビウスの帯）
　　　表裏がない

トポロジー（位相幾何学）　Topology　・・・　あらゆる図形の本質探究
　オイラー標数
　　図形の頂点の数　Vertex − 図形の辺の数　Edge ＋ 図形の面の数　Face

　　多面体定理
　　　V−E＋F＝2

　　　立方体　・・・　8−12＋6＝2

　　オイラー^ﾉ定理
　　　2つの図形が同相　⇒　オイラー標数は同じ　⇒　トポロジー不変量
　　　　逆は成り立つとは限らない

乱数

順列　Permutation　_nP_r、P(n,r)
　異なるn個のものからr個とって並べる方法の数
　P(n,r) ＝ n！ ／ (n−r)！　・・・　n × (n−1) × … × (n−r＋1)

　P(n,n) ＝ n！　・・・　n個のものの並べ方　＝　n！通り　　　↑

重複順列
　異なるn個のものから重複を許してr個とって並べる方法の数
　n^r　・・・　n × n × … × n（r回目）

組合せ　Combination　_nC_r
　異なるn個のものからr個選ぶ方法の数（順序関係なし）
　_nC_r ＝ P(n,r) ／ r！ ＝ n！ ／ {r！(n−r)！} ＝ {n × (n−1) × … × (n−r＋1)} ／ r！
　　・・・選んだr個のものの並べ方　＝　r！通り
　　　　　順序関係ないので、_nC_r × r！ ＝ P(n,r)

　_nC_r ＝ _nC<sub>n-r

　n</sub>C₀ ＝ _nC_n ＝ 1

重複組合せ　_nH_r
　異なるn個のものから重複を許してr個選ぶ方法の数（順序関係なし）
　＝ _n+r-1C_r
　　・・・　選んだr個と(n-1)個の仕切りから成る並びの組合せ数と同じ値
　　　　　　＝　r＋(n-1）個の並びへ(n-1）個の仕切りを入れる方法の数と同じ値

確率　Probability
　事象Eが起こる確率　P(E)
　　＝ 事象Eの場合の数　n(E)／全ての場合の数　n(N)

　　0≦P(E)≦1

　　和
　　　全体　p ＋ q ＋ … ＝ 1
　　　　Aとなる確率　p
　　　　Bとなる確率　q
　　　　:

　　積

　　　繰り返し

　　　　p・q・ …
　　　　　1回目の確率　p
　　　　　2回目の確率　q
　　　　　:

　余事象　P(\( \bar{E} \))
　　＝ 1−P(E)

　和事象　P(E∪F)　・・・　事象Eまたは事象Fが起こる
　　＝ P(E) ＋ P(F) − P(E∩F)

　積事象　P(E∩F)　・・・　事象Eと事象Fが共に起こる
　　＝ P(E)・P(F|E)
　　＝ P(F)・P(E|F)

　　条件付き確率　P_E(F)、P(F|E)　・・・　事象Eが起こったとき事象Fが起こる
　　　＝ P(E∩F)／P(E)
　　　＝ (P(F)・P(E|F)) ／ P(E)　・・・　ベイズ^ﾉ定理

　　　ベイズ推定　　　↓

　　排反　・・・　事象Eと事象Fのどちらかしか起こらない
　　　P(E∩F) ＝ 0

　事象Eが起こる確率　pの試行をn回繰り返したとき、事象Eがr回起こる確率　P'(E)
　　＝ _nC_r p^r(1−p)^n-r
　　　1−p：事象Eが起こらない確率
　　　・・・1回目の確率　pまたは1−p、2回目の確率　pまたは1−p、…
　　　　　　n回目までの確率　p^r(1−p)^n-r
　　　　　　その組合せ　_nC_r通り

　二項定理
　　(a＋b)ⁿ ＝ _r=0Σⁿ _nC_r a^n-rb^r ＝ aⁿ ＋ _nC₁ a^n-1b ＋ _nC₂ a^n-2b² ＋ … ＋ bⁿ
　　　_nC_r：二項係数

　　　n＝2　→　a²＋₂C₁ ab＋b²
　　　n＝3　→　a³＋₃C₁ a²b＋₃C₂ ab²＋b³

　確率密度関数　p(x)
　　p：確率
　　x：確率変数

　　確率分布　　　↓

統計

　データ（階級値）

　　度数

　　　相対度数　f_i／n　→　確率

　　　累積相対度数　・・・　0〜1

　代表値

　　最頻値（モード）　Mode　・・・　度数最大のデータ

　　中央値（メディアン）　Median　・・・　昇順（降順）に並べたデータの中央の値（2つ並んだ場合その平均値）

　　平均値
　　　相加平均（算術平均）　μ、M(x)
　　　　＝ (x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ x_n) ／ n ＝ _i=1Σⁿ x_i ／ n

　　　　加重平均　・・・　各項重み付け

　　　相乗平均（幾何平均）
　　　　＝ ⁿ√(x₁ × x₂ … × x_n)

　　　移動平均　・・・　系列データの部分平均
　　　　例えば、直近データ＋、古いデータ−で直近の傾向把握

　　　相加平均≧相乗平均
　　　　・・・　(a＋b)／2−√ab ＝ (√a²＋√b²)／2−√a√b ＝ (√a−√b)²／2≧0

　偏差　・・・　平均からのずれ
　　x_i−μ

　散布度　・・・　分布の散らばり
　　分散　σ_x²、Var(x)、Var(xx)　・・・　＝ （平方の平均）−（平均の平方）
　　　＝ 1／n _i=1Σⁿ (x_i − μ)² ＝ _i=1Σⁿ (x_i²) ／ n − μ²
　　　　・・・1／n {(x₁² − 2μx₁ ＋ μ²) ＋ (x₂² − 2μx₂ ＋ μ²) ＋ … ＋ (x_n² − 2μx_n ＋ μ²) }
　　　　　　　＝ 1／n (x₁² ＋ x₂² ＋ … ＋ x_n²) − 1／n ・2μ(x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ x_n) ＋ μ²
　　　　　　　1／n (x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ x_n) ＝ μより
　　　　　　　Var(x) ＝ 1／n _i=1Σⁿ (x_i²) − 2μ² ＋ μ²
　　共分散　σ_xy、Var(xy)
　　　＝ 1／n _i=1Σⁿ (x_i − M(x)) (y_i − M(y)) ＝ _i=1Σⁿ (x_iy_i) ／ n − M(x)M(y)
　　　　・・・　＝ 1／n (x₁y₁ ＋ x₂y₂ ＋ … ＋ x_ny_n) − 1／n ・M(y)(x₁ ＋ x₂ ＋ … ＋ x_n) − 1／n ・M(x)(y₁ ＋ y₂ ＋ … ＋ y_n) ＋ M(x)M(y)
　　　　　　　　＝ 1／n _i=1Σⁿ (x_iy_i) − M(y)M(x) − M(x)M(y) ＋ M(x)M(y)

　　標準偏差　σ_x、σ(x)
　　　＝ √Var(x)

　相関係数　r
　　＝ Var(xy) ／ √(Var(x)・Var(y))

　　−1≦r≦1
　　　1　　相関　強
　　　0　　無相関
　　　−1　負の相関　強

　分布
　　度数分布

　　　柱状度数図（ヒストグラム）
　　　度数分布多角形

　　　累積相対度数分布

　　　　ローレンツ曲線
　　　　　縦軸、横軸　−　累積相対度数

　　　　　ジニ係数　・・・　集中度・偏在度の指標
　　　　　　＝　ローレンツ曲線と均等線（45度線）の間の面積　／　全体の面積（＝ 1／2 × 1 × 1）
　　　　　　＝　ローレンツ曲線と均等線の間の面積 × 2

　　　　　　0：完全平等　・・・　ローレンツ曲線＝均等線
　　　　　　1：独（り）占（め）

　　確率分布

　　　離散分布

　　　　超幾何分布　p(x)
　　　　　N個からn個を抽出し、うちＡであるものがx個となる確率
　　　　　　・　非復元抽出（元に戻さない）
　　　　　　・　N個のうちＡであるものがN'個、ＡでないものがN−N'個

　　　　　確率関数　p(x)
　　　　　　＝ (_N'C_x・_N-N'C_n-x) ／ _NC<sub>n

　　　　　　x=0</sub>Σⁿ p(x) ＝ 1

　　　　二項分布
　　　　　（事象E、Fのうち）事象Eが起こる（確率：p）の試行をn回繰り返したとき、事象Eがx回起こる確率
　　　　　超幾何分布でN→∞としたときの極限

　　　　　確率関数　p(x)
　　　　　　＝ _nC_x p^x(1−p)^n-x　(x ＝ 0、1、…、n)
　　　　　　　n：試行回数
　　　　　　　np：期待値
　　　　　　　　＝ μ

　　　　多項分布
　　　　　事象E₁、E₂、…、E_kのうちいずれか１つが起こる（確率：p₁、p₂、…、p_k）試行をn回繰り返したとき、事象E₁がx₁回、E₂がx₂回、…、E_kがx_k回起こる確率

　　　　　確率関数　p(x₁、x₂、…、x_k)
　　　　　　＝ n！ ／ {x₁！x₂！…x_k！} × p₁^x₁p₂^x₂…p_k^x_k

　　　　ポアソン分布
　　　　　二項分布でnp一定（＝μ）のままn→∞、p→0としたときの極限
　　　　　　確率　p→0　・・・　稀に起こる

　　　　　確率関数　p(x)
　　　　　　＝ μ^xe^-μ ／ x！

　　　正規分布（ガウス分布）　N(μ,σ²)　・・・　釣鐘型
　　　　μ ＝ M(x)、σ² ＝ Var(x)

　　　　確率密度関数　p(x)
　　　　　＝ 1／{σ√(2π)} e^{-(x-μ)2／2σ2}　（−∞＜x＜∞）

　　　　∫^∞_-∞p(x)dx ＝ 1

　　　　標準正規分布　N(0,1)　・・・　μ＝0、σ²＝1

　　　　　z ＝ (x−μ)／σ　・・・　標準化

　　　　　確率密度関数　p(z)
　　　　　　＝ 1／{√(2π)} e^-z2／2　（−∞＜x＜∞）

　　　標本分布
　　　　ｔ分布（スチューデント分布）　・・・　釣鐘型
　　　　　母集団が正規分布（母平均　μ、母分散　未知)、標本平均　\( \bar{x} \)、標本分散　s_x²のとき
　　　　　t ＝ √n(\( \bar{x} \) − μ) ／ s_x
　　　　　　n−1：自由度（n：データ数）

　　　　　n→∞　⇒　ｔ分布→標準正規分布

　　　　カイ２乗分布（χ²分布）
　　　　　母集団が正規分布（母平均　μ、母分散　σ²)、標本平均　\( \bar{x} \)、標本分散　s_x²のとき
　　　　　χ² ＝ (n−1)(s_x² ／ σ²)
　　　　　　n−1：自由度

　母集団

　　正規分布　　　↑

　　標本　Sample

　　　大きさ　n　・・・　データ数

　　　標本分布　　　↑

　　母平均　μ、M(x)　・・・　期待値　E(x)

　　　標本平均　\( \bar{x} \)、m(x)
　　　　＝ _i=1Σⁿ x_i ／ n　・・・　平均　　　↑

　　　　_i=1Σⁿ (x_i−\( \bar{x} \)) ＝ 0

　　母分散　σ_x²、Var(x)、Var(xx)

　　　標本分散　s_x²、var(x)、var(xx)
　　　　＝ 1／(n−1) _i=1Σⁿ (x_i−\( \bar{x} \))²　・・・　不偏分散
　　　　　自由度 ＝ データ数（＝n）−1　・・・　標本から得た\( \bar{x} \)の分を差し引く

　　母標準偏差　σ_x、σ(x)

　　　標本標準偏差　s_x
　　　　＝ √s_x²

　　母共分散　σ_xy、Var(xy)

　　　標本共分散　s_xy、var(xy)
　　　　＝ 1／(n−1) _i=1Σⁿ (x_i−\( \bar{x} \))(y_i−\( \bar{y} \))　・・・　不偏共分散

　　大数^ﾉ法則
　　　データ数　n→∞で、標本平均→母平均（期待値）へ収束

　推定　・・・　標本データから母集団推定

　ベイズ推定
　　P(F|E) ＝ (P(F)・P(E|F)) ／ P(E)　・・・　ベイズ^ﾉ定理　　　↑
　　　P(F|E) ：事後確率（事象Eが起こった後事象Fが起こる確率）
　　　P(F)：事前確率（事象Fが起こる確率）
　　　P(E|F)：尤度［関数］

　検定　Test　・・・　標本データの信頼性

　R言語
　・
　・
　・

※
記号の上付、下付ずれ有り

MathJax　　　→
　行列、行列式、

　[Math Processing Error] 　・・・　ブラウザ未対応

　Ex.
　　インライン　\( \sqrt{\frac{\pi^2}{n^2}}\times\omega \)

\[ \sum_{i=1}^\infty \]