前回、三角形などの図形を描いて昔を思い出したので、
ついでにベクトルについて少しまとめてみた。
ベクトルという言葉自体は、専門用語の域を出て、時々使われているのを耳にするが、記憶を辿ると初出は高校の数学。
始めは矢印でABなどと表記されていたが、
やがて太字だけの表記が主流になった。
太字がベクトルで、細字がスカラー。
スカラーとは日頃使っている数量のことで、大きさや質量など。
ベクトルは大きさに加えて向きが備わる。
コンピューターで矢印つけようとすると少々面倒なので、以下太字で表記したが、念のため青字にしておいた。
ふりがな（ルビ）が使えるので、今回はルビに→を入力して済ませたが、心許ないので、こちらも青字にしておいた。
なお、MathJaxを使えばキレイに表示できる。
ベクトルの初歩
では、ベクトルの初めの一歩。
下の図の矢印は、みんなベクトル。
ベクトルCP＝a、CQ＝bと表すと残りの矢印（ベクトル）もみなaとbで表すことができる。
CPを平行移動したベクトルQR＝a
CQを平行移動したPR＝b
aもbも位置はどこでも構わない。
大きさ（長さ）と向きが同じならば同じベクトル。
上の図のCQの矢印の向きはQからCになっているが、QC＝－b
a＋b＝CR。平行四辺形CPRQの対角線。
a－b＝QP。平行四辺形CPRQのもう１つの対角線であり、三角形（△）CPQのもう１つの辺。
b－a＝PQ。a－bと同じ大きさ。
PQ＝CQ－CPといった具合にパッと書き換えられるようにしておく。
(a＋b)／2＝CM。CRの中点。
PQの中点も
CQ＋(1／2)QP＝b＋(a－b)／2＝(a＋b)／2
２辺CP、CQの大きさ（長さ）が分かっていても△CPQの形・大きさは決まらないが、
２辺CP、CQの大きさと向きが決まっていれば、△CPQの形・大きさが１つに決まる。
つまり（平行でない）２つのベクトルa、bだけで三角形（△）が決まる。
a、bを数値で表記する場合、成分表示（言わば座標表示）になる。
たとえば、a=（3,4）、b=（4,1）といった具合。
( )の中の成分を縦に並べて書くこともできる。
ともかく（平面の場合）２つの数値があれば大きさと向きが決まり、もう１組あれば三角形（△）が決まる。
a、bの大きさ（すなわちスカラー）ａ、bは、それぞれ５、√17だが、ページの最後でもう一度触れる。
幸いベクトルの計算は、足し算・引き算難しくない。
たとえば、上の△CPQの頂点C、P、Qの座標をC （1,1）、P （4,5）、Q （5,2）とすると
ｘ成分、ｙ成分の引き算、足し算で、
a=（3,4）、b=（4,1）
b－a=（1, -3）、a－b=（-1,3）
a＋b＝（7,5）
※ 点Rの座標は始点Cの座標 （1,1）を足して（8,6）
(a＋b)／2＝（7／2,5／2）
※ 点Mの座標は（1,1）を足して（9／2,7／2）
となる。
a、bはｘ方向、ｙ方向の単位ベクトル（大きさ１のベクトル）ｉ、ｊを使って、
a＝3ｉ＋4ｊ、b=4ｉ+ｊと表記することもできる。
ｉ=（1,0）、ｊ＝（0,1）なので、
a=3・（1,0）+4・（0,1）＝（3,4）
b=4・（1,0）+1・（0,1）＝（4,1）
といった具合。
位置ベクトル
下の図の△CPQと△OABは同じ形・大きさの三角形。合同。位置が違うだけ。
a、bと同じベクトルは無数に存在しうるが、
X－Y座標の原点O （0,0）を始点としたa、bは、その終点が座標そのものになる。
a＝OA、b＝OB
一番分かりやすい位置のベクトル。
OC=（1,1）、OP=（4,5）、OQ=（5,2）も
点C、P、Qの座標そのもの。
上の図の△OABを点Cの座標分つまりｘ方向に1、y方向に1移動させると△CPQと重なる。
OA＝CP＝a
OB＝CQ=b
CP=OP－OC＝（3,4）＝a
CQ＝OQ－OC＝（4,1）＝b
点A、Bの座標。
△CPQも△OABもベクトル的には同じ。a、bは同じ。
なお、OC－OC＝CC＝ｏ（零ベクトル）。
ABの中点もPQの中点も (a＋b)／2＝（7／2,5／2）
ただし、ABの中点の座標は、(OA＋OB)／2＝（7／2,5／2）
PQの中点（点Ｍ）の座標は、(OP+OQ)／2＝（9／2,7／2）
内分・外分、
線分の中点は線分が1：1に分けられる点（等しく内分される点）だが、
線分ABがm：nに分けられる場合、
つまりBN=n、NA=mのとき、
内分点Nの位置ベクトル ON＝(na+mb)／(m+n)
たすきがけのイメージ。
m=n=1のとき、(a＋b)／2になる。
外分も分け方を覚えておく。
前回のメネラウスの定理や方冪（べき）の定理も覚えやすくなる。
行って戻ってのイメージ。
線分BAをn：mに外分する点をLとしたとき、
つまりBL=n、LA=mのとき、
外分点Lの位置ベクトル OL＝(na－mb)／(－m+n)
線分ABをm：nに外分する場合は、(－na＋mb)／(m－n)
三角形の重心
三角形の重心は頂点から重心を通る中線を2：1に内分する点。
△CPQの重心 Gは一番上の図１において
CG＝(2／3) CM
CM＝(a＋b)／2なので、
CG＝(a＋b)／3
Ｇは線分CMを2：1に内分する点なので、上の内分点の位置ベクトルの式に当てはめてみると
OG＝(OC＋2OM)／３
OM＝(OP+OQ)／2なので、
OG＝(OC＋OP＋OQ)／3＝（10／3,8／3）
△OABの重心は、(OO＋OA＋OB)／3＝(a＋b)／3＝（7／3,5／3）
OG＝OC＋CGでもある。
一般に△ABCの位置ベクトルがa、b、cならば、重心の位置ベクトルは、
(a＋b＋c)／3。
ベクトルの大きさ
いつまで経ってもベクトルとベクトルの割り算が出てこない－－－
となれば、難しくない－－－
と思ったこともあるが、
掛け算がa・bとa×bで違う。
a・b＝b・aなのにa×b＝b×aではない。
ホワイですね。
とりあえず最初は２次元（平面）なので、a・bだけ。
この場合のベクトルとベクトルの積はベクトルにならずスカラー。
積は積でも内積（スカラー積）と呼ばれ、
ｘ成分同士、ｙ成分同士掛けたものを足し合わせると得られる。
a=（s,t）、b=（u,v）のとき、a・b＝s・u＋t・v
a=（3,4）、b=（4,1）ならば、a・b＝16
a・a、b・b は、それぞれa、b の大きさの２乗。つまり
|a|＝a＝√(s2＋t2)、|b|＝b＝√(u2＋v2) ・・・ ルートです
a＝5、b＝√17
となる。
このへんで一区切り。
直線や円は、従来の方程式つまりy=ax+bやx2+y2=r2などでシンプルに表せるが、
三角形、四角形、多角形の方程式はシンプルとは言い難く、見掛けることもほとんどない。
そんな時にベクトル現る。
ベクトルを使うと分点など割り出せて、三角形の重心も容易に求まる。
直線も円もベクトルで表せるので（ベクトル方程式）、
ベクトルを使った表現方法も学んでおくと、あとあといろいろ理解できるようになる……。
