2025年３月、アーベル賞受賞のニュース。
数学 初めの一歩のページ作成。
自然数、整数、実数、
１、２、３、……
自然数。
無限に存在。
※ これもアルキメデスの原理。「上に有界ではない（最大値はない）」とか
自然数と負の数 －１、－２、－３、……
整数。
０（ゼロ）は整数。自然数ではないと覚えたが、自然数扱いすることもある。
整数はとびとび（離散的）。
整数と整数の間、たとえば２と３の間には
2.25、2.323、2.5、2.89など小数で表される数が入る。
うち整数と整数の比すなわち分数で表される数が有理数。
整数も整数１との比なので有理数。
2.5＝5／2、2.25＝225／100＝9／4など
小数点以下有限ならば有理数。
小数点以下無限に続く場合も同じ数［列］が繰り返す場合、たとえば3.3333……は、10／3で有理数。
つまり有限小数、循環小数は有理数。
円周率 π ＝ 3.1415……のように小数点以下同じ数［列］の繰り返しがない場合、分数で表せない。無理。無理数。
√2、√3、e（自然対数の底）なども無理数。
「全て」の数は有理数か無理数。ひっくるめて実数。
「全て」と言ったが、実際にはありえない数もよく使われる。２乗すると－１になる数。iで表される虚数。
実数と虚数ひっくるめて複素数。
ひとまず実数までは理解できると思うが、
ある程度の理解までにとどまる。
たとえば、実数は整数と違ってとびとびではなく連続的である（実数の性質の１つ）。次々と並べていくと点線ではなく実線になる。一方、整数と整数の間には実数が無限に存在する。
？。
稠密性と呼ばれ、連続性と違うことは分かるけど。
たとえば、有理数と無理数どちらが多いのか－－－
無理数のほうが有理数より多い。
証明は易しくない。優しくない。
整数までならば容易に理解できるだろう？
因数分解できない整数を素数と言いまして……
数列の問題、
整数論、
難解。
アーベル賞受賞
昔、数学の歴史に関する本を読めば理解が深まるのではなかろうか、と本屋で手に入れた本が、
近世数学史談 ／ 高木貞治 ／ 1995 ／ 岩波書店
※ 第一版は1933年、共立社。
ガウスとアーベルについて多く記されている。
天才オイラー、ガウスの後、アーベル、ガロア。
方程式を解いたりするのは代数学。
連立方程式、２次方程式、高次方程式。
４次方程式までは解の公式がある（代数的に解ける）。５次以上についてもアーベル含め多くの数学者が解法を求めたが、代数的に解けないことをアーベルが証明。
関数 y＝f(x)の微分・積分などは解析学。
代数解析学？
難しい微分方程式
関数はf(x)のxに数を代入すると数yが求められる。
数などのまとまり、集合の場合も同様にXからYへ「写す」ことができるが、関数ではなく写像と呼ぶ。
Y＝A(X)
行列Aによる図形の変換（平行移動、回転など）も一種の写像。
図形、空間を扱う幾何学。
代数幾何学？
進めば進むほど？が増えていく感じ。
集合の要素は元（げん）とも呼ばれる。
実数を元とした集合、ベクトルを元とした集合などを空間とみなすようになって、
それまで何となく学んでいた集合の和（合併） ∪や積（共通） ∩といった演算が難解な数学の基礎であることに気づかされる。
元がぎっしり詰まった空間（集合）は稠密と呼ばれ、たとえば実数は隙間に無限に入り込める。でも実数は連続的。線で表すと点線ではなく実線になるが、空間だと完備性という用語が使われる。
群や体も元が３つ程の条件を満たした場合の集合。
その上にアーベル群（可換群）、ガロア群、……
2025年３月、柏原正樹氏 日本人初のアーベル賞受賞。
ノーベル賞に数学賞はないが、フィールズ賞が権威ある賞としてよく知られている。４年に１度で、受賞者は40歳未満。日本人受賞者は３名。小平邦彦氏、広中平祐氏、森重文氏。
ガウス賞も４年に１度。2006年から。2006年第１回受賞者は日本人。伊藤清氏。
アーベル賞はアーベル生誕200年の2002年、出身国ノルウェーが創設。2003年から毎年。
アーベル賞 The Abel Prize（abelprize.no/）
京都大学数理解析研究所 RIMS Research Institute for Mathematical Sciences（www.kurims.kyoto-u.ac.jp/）
『受賞理由は、代数解析学と表現論への本質的貢献、特にD-加群の理論を創始し展開したこと、および、結晶基底を発見したこと等』
D-加群？
難解。
柏原氏が師事した佐藤幹夫氏（2023年他界）
佐藤氏が師事した彌永昌吉氏
彌永氏が師事した高木貞治氏 ［1875－1960］
アーベル、ガロアはフランス革命の後、生誕。ともに早世。
ガウスは1855年他界。
1862年ヒルベルト生誕。ドイツの大数学者。
高木氏、1932年（昭和７年）、ヒルベルト訪問。ゲッティンゲン（ニーダーザクセン州）が数学・物理など科学の中心。
数学苦手に感じる場合、数学史から入るのも良いかもしれない。
