数 +

根基 rad
 素因数の積

 整数a、b、cの素因数がp、q、rのとき
 rad(abc) = p × q × r

リーマンゼータ関数 ζ(s)
 ζ(s) = n=1Σ n-sn=1Σ 1/ns

 オイラー積
  ζ(s) = Π(1−p-s)-1 (pは素数)
   Π:総乗   

内積   

外積   

スカラー立積(スカラー3重積)
 AB×C ・・・ AB×Cの内積

  A = (Ax,Ay,Az) 、B = (Bx,By,Bz) 、C = (Cx,Cy,Cz) のとき、
   AB×CA×BCBC×AB×CACA×BC×AB
    ・・・ 行列式   ↓
     \( = \left| \begin{array}{ccc} A_{x}&A_{y}&A_{z}\\ B_{x}&B_{y}&B_{z}\\ C_{x}&C_{y}&C_{z} \end{array} \right| \)

ベクトル立積(ベクトル3重積)
 A×(B×C) ・・・ ≠ (A×BC
  = (AC)B−(AB)C
  ・・・ A = (Ax,Ay,Az) 、B = (Bx,By,Bz) 、C = (Cx,Cy,Cz) のとき、
      B×C = (ByCz−BzCy)i + (BzCx−BxCz)j + (BxCy−ByCx)k
      A×(B×C) = {Ay(BxCy−ByCx)−Az(BzCx−BxCz)}i + {Az(ByCz−BzCy)−Ax(BxCy−ByCx)}j + {Ax(BzCx−BxCz)−Ay(ByCz−BzCy)}k
      = {AyBxCy−AyByCx−AzBzCx+AzBxCz+AxBxCx−AxBxCx}i + {AzByCz−AzBzCy−AxBxCy+AxByCx+AyByCy−AyByCy}j + {AxBzCx−AxBxCz−AyByCz+AyBzCy+AzBzCz−AzBzCz}k
      = {(AxCx + AyCy + AzCz)Bx − (AxBx + AyBy + AzBz)Cx}i + {(AxCx + AyCy + AzCz)By − (AxBx + AyBy + AzBz)Cy}j + {(AxCx + AyCy + AzCz)Bz − (AxBx + AyBy + AzBz)Cz}k

(A×B)・(C×D) = (AC)(BD)−(AD)(BC)
 ・・・ (A×B)・(C×D) = (A×BCDCD×(A×B) = C×D・(A×B) = D・(A×BCD×(A×B)・C = (C×DABAB×(C×D) = A×B・(C×D) = B・(C×DAB×(C×D)・A
     AB×(C×D) = A・{(BD)C−(BC)D} ・・・ ベクトル立積の式から

Xn + Yn = Zn
 n=2のとき、ピタゴラス定理   
  32 + 42 = 52
  52 + 122 = 132
  992 + 49002 = 49012(=24019801)

 nが3以上の整数のとき、成立しない = フェルマー定理

abc予想
 任意のε>0に対して、ある正の定数K(ε)≧1が存在し、
 a、b、cが互いに素な整数でa+b=cを満たすならば、
 max{|a|、|b|、|c|} < K(ε){rad(abc)}1+ε

 任意のε>0に対して、
 a、b、cが互いに素な自然数でa+b=cを満たすならば、
 c > {rad(abc)}1+εを満たすa、b、cは少ない

  例外的トリプル ・・・ c > {rad(abc)}1+εを満たすa、b、c
   32 > rad(5・27・32) = 5・3・2 = 30

テンソル Tensor Tij

 n階
 ・
 ・
 ・
 3階
 2階 ・・・ 行列、
 1階 ・・・ ベクトル
 0階 ・・・ スカラー

 クロネッカーデルタ δij
  i=jのとき1
  i≠jのとき0

   \( = \left( \begin{array}{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{array} \right) \)

 ベクトル   

  基底ベクトル
   eiej、…、ek

  反変ベクトル
  共変ベクトル

 計量テンソル gij、gij
  どんな座標系でも成分が同じ

 テンソル積 ⊗

集合   

 群 Group

 体 Field

空間

 次元 dim

 完備性
  任意のコーシー列(基本列)が収束する場合

 距離空間
  コーシー列が収束しないこともある
 完備[距離]空間 ・・・ 距離空間+完備性

 線型空間
  実線型空間(実ベクトル空間)
  複素線型空間(複素ベクトル空間)

  計量線型空間
   ユークリッド空間(実計量線型空間)
   ユニタリ空間(複素計量線型空間)

  ノルム空間 ・・・ 距離空間+線型空間

   バナッハ空間 ・・・ ノルム空間+完備性

   プレヒルベルト空間(内積空間)

    ヒルベルト空間 ・・・ プレヒルベルト空間+完備性

公理

 公理(独立) ⇒ 定理 ⇒ …

 ユークリッド幾何学的定理
  ・ 任意の点から任意の点へ直線を引く
  ・ 有限直線を連続して一直線に延長する
  ・ 任意の点と任意の距離で円を描く
  ・ 全ての直角は等しい
  ・ 1つの直線が2つの直線に交わって同じ内側につくる2つの角の和が2直角(2∠R)より小さいとき、この2直線を延長していくと2直角(2∠R)より小さい角のある側で交わる
   = 平行線公理 ・・・ 公理(独立)

非ユークリッド幾何学 ・・・ 平行線公理の否定

 曲面   

 球面三角形
  内角の和 ≠ 180°

  余弦定理
   球面三角形ABC AB=c、BC=a、AC=bおよびO−弧ABからなる平面OABとO−弧ACからなる平面OACのなす角がαのとき
    cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α
    ・・・ 半径rの球面でr∠AOB=c、r∠BOC=a、r∠AOC=b ・・・ 弧長
        半径1の球面で∠AOB=c、∠BOC=a、∠AOC=b
        外積の大きさは、|OA|=|OB|=|OC|=1なので
         ||OA×OB|| = |OA||OB| sin ∠AOB = sin c
         ||OB×OC|| = |OB||OC| sin ∠BOC = sin a
         ||OC×OA|| = |OC||OA| sin ∠AOC = sin b
        平面OAB、平面OACのなす角 α ・・・ 2平面のなす角   
         cos α = ((A×B)・(A×C))/(|A×B||A×C|) = ((A×B)・(A×C))/(sin c sin b)
          A×B:平面OABの法線ベクトル
          A×C:平面OACの法線ベクトル
        (A×B)・(A×C) = (AA)(BC)−(AC)(BA) ・・・ ベクトル立積、スカラー立積の式から
        = cos a−cos b cos c ・・・ 内積から

   地点A(φ1、λ1)、地点B(φ2、λ2)、北極 Nからなる球面三角形ABNについて、AB間の距離 l
    cos l = sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos (λ1−λ2)
    ・・・ ∠AON = π/2−φ1、∠BON = π/2−φ2
        平面OANと平面OBNのなす角はλ1−λ2
        余弦定理よりcos l = cos(π/2−φ1) cos(π/2−φ2) + sin(π/2−φ1) sin(π/2−φ2) cos (λ1−λ2)

  正弦定理
   平面OABと平面OACのなす角がα、平面OABと平面OBCのなす角がβ、平面OACと平面OBCのなす角がγのとき
    sin a/sin α = sin b/sin β = sin c/sin γ
    ・・・ 平面OABの法線ベクトルと平面OACの法線ベクトルの外積は
        (A×B)×(A×C) = |A×B||A×C| sin α = sin c sin b sin α
        (A×B)×(A×C) = (A×BC)A−(A×BA)C ・・・ ベクトル立積の式から
        = (A×BC)A ・・・ A×BA = 0
        ⇒ sin c sin b sin α = (A×BC)A
        スカラー立積の性質より
        = (B×CA)B = sin a sin c sin β
        = (C×AB)C = sin b sin a sin γ

  sin a cos γ = cos c sin b − cos b sin c cos α
  ・・・ 余弦定理 cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α、cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γについて
      sin a sin b cos γ = cos c − cos a cos b = cos c − (cos b cos c + sin b sin c cos α)cos b
      = cos c − cos2b cos c − cos b sin b sin c cos α
      = cos c − cos c(1−sin2b) − cos b sin b sin c cos α
      = cos c sin2b − cos b sin b sin c cos α

  cot a sin b = cos b cos γ + cot α sin γ
  ・・・ sin a cos γ = cos c sin b − cos b sin c cos α、cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γおよび正弦定理から
      sin a cos γ = (cos a cos b + sin a sin b cos γ)sin b − cos b (sin a sin γ/sin α)cos α
      sin a cos γ − sin a sin2b cos γ = cos a cos b sin b − cos b sin a sin γ cot α
      sin a cos γ cos2b = cos a cos b sin b − cos b sin a sin γ cot α
      cos γ cos b = cot a sin b − sin γ cot α

   地点A(φ1、λ1) − 地点B(φ2、λ2)の方位角 α
    = tan-1 {tan φ1 cos φ2 − sin φ2 cos (λ1−λ2) / sin (λ1−λ2)}
    ・・・ cot (π/2−φ1) sin (π/2−φ2) = cos (π/2−φ2) cos (λ1−λ2) + cot (π/2−α) sin (λ1−λ2)
        tan φ1 cos φ2 = sin φ2 cos (λ1−λ2) + tan α sin (λ1−λ2)
        tan α sin (λ1−λ2) = tan φ1 cos φ2 − sin φ2 cos (λ1−λ2)

微分   

 微分演算子
  勾配(グラジエント) Gradient grad
   ナブラ ∇
    ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)

   関数f(x,y,z)のとき
    grad f = ∇f = (∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)

  発散 div
   div A = ∇・A ・・・ ∇とA = (Ax,Ay,Az)の内積
    = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z

  回転 rot
   rot A = ∇×A ・・・ ∇とA = (Ax,Ay,Az)の外積
    = (∂Az/∂y − ∂Ay/∂z)i + (∂Ax/∂z − ∂Az/∂x)j + (∂Ay/∂x − ∂Ax/∂y)k
     \( = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ A_{x}&A_{y}&A_{z} \end{array} \right| \)

  ラプラシアン ∆、▽
   ▽ = (∂2/∂x2,∂2/∂y2,∂2/∂z2)

積分   

 ベータ関数 B(p,q)
  =∫10 xp-1(1−x)q-1 dx

 ガンマ関数 Γ(p)
  =∫0 e-xxp-1 dx

  Γ(p+1) = pΓ(p)

 B(p,q) = Γ(p)Γ(q) / Γ(p+q) (p、q>0)