数　＋

根基　rad
　素因数の積

　整数a、b、cの素因数がp、q、rのとき
　rad(abc) ＝ p × q × r

リーマン^ﾉゼータ関数　ζ(s)
　ζ(s) ＝ _n=1Σ^∞ n^-s ＝ _n=1Σ^∞ 1／n^s

　オイラー積
　　ζ(s) ＝ Π(1−p^-s)^-1　（pは素数）
　　　Π：総乗　　　→

内積　　　→

外積　　　→

スカラー立積（スカラー３重積）
　A・B×C　・・・　AとB×Cの内積

　　A ＝ (A_x,A_y,A_z) 、B ＝ (B_x,B_y,B_z) 、C ＝ (C_x,C_y,C_z) のとき、
　　　A・B×C ＝ A×B・C ＝ B・C×A ＝ B×C・A ＝ C・A×B ＝ C×A・B
　　　　・・・　行列式　　　↓
　　　　 \( = \left| \begin{array}{ccc} A_{x}&A_{y}&A_{z}\\ B_{x}&B_{y}&B_{z}\\ C_{x}&C_{y}&C_{z} \end{array} \right| \)

ベクトル立積（ベクトル３重積）
　A×(B×C)　・・・　≠　(A×B)×C
　　＝ (A・C)B−(A・B)C
　　・・・　A ＝ (A_x,A_y,A_z) 、B ＝ (B_x,B_y,B_z) 、C ＝ (C_x,C_y,C_z) のとき、
　　　　　　B×C ＝ (B_yC_z−B_zC_y)i ＋ (B_zC_x−B_xC_z)j ＋ (B_xC_y−B_yC_x)k
　　　　　　A×(B×C) ＝ {A_y(B_xC_y−B_yC_x)−A_z(B_zC_x−B_xC_z)}i ＋ {A_z(B_yC_z−B_zC_y)−A_x(B_xC_y−B_yC_x)}j ＋ {A_x(B_zC_x−B_xC_z)−A_y(B_yC_z−B_zC_y)}k
　　　　　　＝ {A_yB_xC_y−A_yB_yC_x−A_zB_zC_x＋A_zB_xC_z＋A_xB_xC_x−A_xB_xC_x}i ＋ {A_zB_yC_z−A_zB_zC_y−A_xB_xC_y＋A_xB_yC_x＋A_yB_yC_y−A_yB_yC_y}j ＋ {A_xB_zC_x−A_xB_xC_z−A_yB_yC_z＋A_yB_zC_y＋A_zB_zC_z−A_zB_zC_z}k
　　　　　　＝ {(A_xC_x ＋ A_yC_y ＋ A_zC_z)B_x − (A_xB_x ＋ A_yB_y ＋ A_zB_z)C_x}i ＋ {(A_xC_x ＋ A_yC_y ＋ A_zC_z)B_y − (A_xB_x ＋ A_yB_y ＋ A_zB_z)C_y}j ＋ {(A_xC_x ＋ A_yC_y ＋ A_zC_z)B_z − (A_xB_x ＋ A_yB_y ＋ A_zB_z)C_z}k

(A×B)・(C×D) ＝ (A・C)(B・D)−(A・D)(B・C)
　・・・　(A×B)・(C×D) ＝ (A×B)×C・D ＝ C・D×(A×B) ＝ C×D・(A×B) ＝ D・(A×B)×C ＝ D×(A×B)・C ＝ (C×D)×A・B ＝ A・B×(C×D) ＝ A×B・(C×D) ＝ B・(C×D)×A ＝ B×(C×D)・A
　　　　　A・B×(C×D) ＝ A・{(B・D)C−(B・C)D}　・・・　ベクトル立積の式から

Xⁿ ＋ Yⁿ ＝ Zⁿ
　n＝2のとき、ピタゴラス^ﾉ定理　　　→
　　3² ＋ 4² ＝ 5²
　　5² ＋ 12² ＝ 13²
　　99² ＋ 4900² ＝ 4901²（＝24019801）

　nが3以上の整数のとき、成立しない　＝　フェルマー^ﾉ定理

abc予想
　任意のε＞0に対して、ある正の定数K(ε)≧1が存在し、
　a、b、cが互いに素な整数でa＋b＝cを満たすならば、
　max{|a|、|b|、|c|} ＜ K(ε){rad(abc)}^1+ε

　任意のε＞0に対して、
　a、b、cが互いに素な自然数でa＋b＝cを満たすならば、
　c ＞ {rad(abc)}^1+εを満たすa、b、cは少ない

　　例外的トリプル　・・・　c ＞ {rad(abc)}^1+εを満たすa、b、c
　　　32 ＞ rad(5・27・32) ＝ 5・3・2 ＝ 30

テンソル　Tensor　Ｔⁱ_j

　n階
　・
　・
　・
　3階
　2階　・・・　行列、
　1階　・・・　ベクトル
　0階　・・・　スカラー

　クロネッカー^ﾉデルタ　δⁱ_j
　　i＝jのとき1
　　i≠jのとき0

　　 \( = \left( \begin{array}{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{array} \right) \)

　ベクトル　　　→

　　基底ベクトル
　　　e_i、e_j、…、e_k

　　反変ベクトル
　　共変ベクトル

　計量テンソル　g^ij、g_ij
　　どんな座標系でも成分が同じ

　テンソル積　⊗

集合　　　→

　群　Group

　体　Field

空間

　次元　dim

　完備性
　　任意のコーシー列（基本列）が収束する場合

　距離空間
　　コーシー列が収束しないこともある
　完備［距離］空間　・・・　距離空間＋完備性

　線型空間
　　実線型空間（実ベクトル空間）
　　複素線型空間（複素ベクトル空間）

　　計量線型空間
　　　ユークリッド空間（実計量線型空間）
　　　ユニタリ空間（複素計量線型空間）

　　ノルム空間　・・・　距離空間＋線型空間

　　　バナッハ空間　・・・　ノルム空間＋完備性

　　　プレヒルベルト空間（内積空間）

　　　　ヒルベルト空間　・・・　プレヒルベルト空間＋完備性

公理

　公理（独立）　⇒　定理　⇒　…

　ユークリッド幾何学的定理
　　・　任意の点から任意の点へ直線を引く
　　・　有限直線を連続して一直線に延長する
　　・　任意の点と任意の距離で円を描く
　　・　全ての直角は等しい
　　・　1つの直線が2つの直線に交わって同じ内側につくる2つの角の和が2直角（2∠R）より小さいとき、この2直線を延長していくと2直角（2∠R）より小さい角のある側で交わる
　　　＝　平行線公理　・・・　公理（独立）

非ユークリッド幾何学　・・・　平行線公理の否定

　曲面　　　→

　球面三角形
　　内角の和 ≠ 180°

　　余弦定理
　　　球面三角形ABC　AB＝c、BC＝a、AC＝bおよびO−弧ABからなる平面OABとO−弧ACからなる平面OACのなす角がαのとき
　　　　cos a ＝ cos b cos c ＋ sin b sin c cos α
　　　　・・・　半径rの球面でr∠AOB＝c、r∠BOC＝a、r∠AOC＝b　・・・　弧長
　　　　　　　　半径1の球面で∠AOB＝c、∠BOC＝a、∠AOC＝b
　　　　　　　　外積の大きさは、|OA|＝|OB|＝|OC|＝1なので
　　　　　　　　　||OA×OB|| ＝ |OA||OB| sin ∠AOB ＝ sin c
　　　　　　　　　||OB×OC|| ＝ |OB||OC| sin ∠BOC ＝ sin a
　　　　　　　　　||OC×OA|| ＝ |OC||OA| sin ∠AOC ＝ sin b
　　　　　　　　平面OAB、平面OACのなす角　α　・・・　２平面のなす角　　　→
　　　　　　　　　cos α ＝ ((A×B)・(A×C))／(|A×B||A×C|) ＝ ((A×B)・(A×C))／(sin c sin b)
　　　　　　　　　　A×B：平面OABの法線ベクトル
　　　　　　　　　　A×C：平面OACの法線ベクトル
　　　　　　　　(A×B)・(A×C) ＝ (A・A)(B・C)−(A・C)(B・A)　・・・　ベクトル立積、スカラー立積の式から
　　　　　　　　＝ cos a−cos b cos c　・・・　内積から

　　　地点A(φ₁、λ₁)、地点B(φ₂、λ₂)、北極　Nからなる球面三角形ABNについて、AB間の距離　l
　　　　cos l ＝ sin φ₁ sin φ₂ ＋ cos φ₁ cos φ₂ cos (λ₁−λ₂)
　　　　・・・　∠AON ＝ π／2−φ₁、∠BON ＝ π／2−φ₂
　　　　　　　　平面OANと平面OBNのなす角はλ₁−λ₂
　　　　　　　　余弦定理よりcos l ＝ cos(π／2−φ₁) cos(π／2−φ₂) ＋ sin(π／2−φ₁) sin(π／2−φ₂) cos (λ₁−λ₂)

　　正弦定理
　　　平面OABと平面OACのなす角がα、平面OABと平面OBCのなす角がβ、平面OACと平面OBCのなす角がγのとき
　　　　sin a／sin α ＝ sin b／sin β ＝ sin c／sin γ
　　　　・・・　平面OABの法線ベクトルと平面OACの法線ベクトルの外積は
　　　　　　　　(A×B)×(A×C) ＝ |A×B||A×C| sin α ＝ sin c sin b sin α
　　　　　　　　(A×B)×(A×C) ＝ (A×B・C)A−(A×B・A)C　・・・　ベクトル立積の式から
　　　　　　　　＝ (A×B・C)A　・・・　A×B・A ＝ 0
　　　　　　　　⇒　sin c sin b sin α ＝ (A×B・C)A
　　　　　　　　スカラー立積の性質より
　　　　　　　　＝ (B×C・A)B ＝ sin a sin c sin β
　　　　　　　　＝ (C×A・B)C ＝ sin b sin a sin γ

　　sin a cos γ ＝ cos c sin b − cos b sin c cos α
　　・・・　余弦定理　cos a ＝ cos b cos c ＋ sin b sin c cos α、cos c ＝ cos a cos b ＋ sin a sin b cos γについて
　　　　　　sin a sin b cos γ ＝ cos c − cos a cos b ＝ cos c − (cos b cos c ＋ sin b sin c cos α)cos b
　　　　　　＝ cos c − cos²b cos c − cos b sin b sin c cos α
　　　　　　＝ cos c − cos c(1−sin²b) − cos b sin b sin c cos α
　　　　　　＝ cos c sin²b − cos b sin b sin c cos α

　　cot a sin b ＝ cos b cos γ ＋ cot α sin γ
　　・・・　sin a cos γ ＝ cos c sin b − cos b sin c cos α、cos c ＝ cos a cos b ＋ sin a sin b cos γおよび正弦定理から
　　　　　　sin a cos γ ＝ (cos a cos b ＋ sin a sin b cos γ)sin b − cos b (sin a sin γ／sin α)cos α
　　　　　　sin a cos γ − sin a sin²b cos γ ＝ cos a cos b sin b − cos b sin a sin γ cot α
　　　　　　sin a cos γ cos²b ＝ cos a cos b sin b − cos b sin a sin γ cot α
　　　　　　cos γ cos b ＝ cot a sin b − sin γ cot α

　　　地点A(φ₁、λ₁)　−　地点B(φ₂、λ₂)の方位角　α
　　　　＝ tan^-1 {tan φ₁ cos φ₂ − sin φ₂ cos (λ₁−λ₂) ／ sin (λ₁−λ₂)}
　　　　・・・　cot (π／2−φ₁) sin (π／2−φ₂) ＝ cos (π／2−φ₂) cos (λ₁−λ₂) ＋ cot (π／2−α) sin (λ₁−λ₂)
　　　　　　　　tan φ₁ cos φ₂ ＝ sin φ₂ cos (λ₁−λ₂) ＋ tan α sin (λ₁−λ₂)
　　　　　　　　tan α sin (λ₁−λ₂) ＝ tan φ₁ cos φ₂ − sin φ₂ cos (λ₁−λ₂)

微分　　　→

　微分演算子
　　勾配（グラジエント）　Gradient　grad
　　　ナブラ　∇
　　　　∇ ＝ (∂／∂x,∂／∂y,∂／∂z)

　　　関数f(x,y,z)のとき
　　　　grad f ＝ ∇f ＝ (∂f／∂x,∂f／∂y,∂f／∂z)

　　発散　div
　　　div A ＝ ∇・A　・・・　∇とA ＝ (A_x,A_y,A_z)の内積
　　　　＝ ∂A_x／∂x ＋ ∂A_y／∂y ＋ ∂A_z／∂z

　　回転　rot
　　　rot A ＝ ∇×A　・・・　∇とA ＝ (A_x,A_y,A_z)の外積
　　　　＝ (∂A_z／∂y − ∂A_y／∂z)i ＋ (∂A_x／∂z − ∂A_z／∂x)j ＋ (∂A_y／∂x − ∂A_x／∂y)k
　　　　 \( = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ A_{x}&A_{y}&A_{z} \end{array} \right| \)

　　ラプラシアン　∆、▽
　　　▽ ＝ (∂²／∂x²,∂²／∂y²,∂²／∂z²)

積分　　　→

　ベータ関数　B(p,q)
　　＝∫¹₀ x^p-1(1−x)^q-1 dx

　ガンマ関数　Γ(p)
　　＝∫^∞₀ e^-xx^p-1 dx

　　Γ(p＋1) ＝ pΓ(p)

　B(p,q) ＝ Γ(p)Γ(q) ／ Γ(p＋q)　（p、q＞0）